開成中学校２０２３年算数第２問（解答・解説）
直線ＰＱによって分けられた２つの部分のうち小さい方の面積は正六角形の面積の１/３となります。
大雑把に見当をつけると、条件を満たす１回目はＱがＣを過ぎたあたりだとわかりますね。 ←仮に、ＱがＣの手前であっても修正すればいいだけですね。
正六角形の６分割の知識（神戸女学院中学部２００７年算数第５問の解答・解説を参照）を利用すると、黄色の部分の面積が正六角形の面積の１/３×１/３＝１/９で、黄緑色の面積が正六角形の面積の１/６で、合計が正六角形の面積の１/９＋１/６＝５/１８だから、あと１/３−５/１８＝１/１８増やす必要があります。
結局、水色の部分の面積が正六角形の面積の１/１８＝１/３×１/６＝三角形ＰＣＤの面積×１/６だから、ＣＱの長さはＣＤの長さの１/６となります。 ←「三角形の高さ一定⇒底辺の比＝面積の比」となることを利用しました。
したがって、条件を満たす１回目は（２＋１/６）分後、つまり２分１０秒後となります。
この１回目の状況から、直線ＰＱの左側の面積を正六角形の面積の１/３だけ増やすことを考えます。 ←１回目を利用して２回目を求める際の作業を減らします。
紫色の面積が１/３×５/６だから、オレンジ色の面積は１/３×１/６＝１/１８となります。
このとき、仮にＰが正六角形の中心Ｏにあったとすると、三角形ＯＤＱの面積は１/１８×３/５＝１/３０＝１/６×１/５＝正三角形ＯＤＥの面積×１/５となり、ＤＱの長さはＤＥの長さの１/５となります。 ←三角形ＰＤＱと三角形ＯＤＱの面積比を比べる際、等分割された線（図を参照）を思い浮かべ、「三角形の底辺一定⇒面積比＝高さの比」を利用しました。また、ＤＱとＤＥの長さを比べる際、「三角形の高さ一定⇒底辺の比＝面積の比」となることを利用しました。
したがって、条件を満たす２回目は（３＋１/５）分後、つまり３分１２秒後となります。
