開成中学校２０２５年算数第２問（解答・解説）
（１）
決まりに従って計算するだけです。
（図２）は、
１×３＋２×３＋３×２＋４×２
＝２３ポイント
となります。
（図２）は、
１×２＋２×３＋３×５＋４×３
＝３５ポイント
となります。
（２）
各行で長方形（の一部）は少なくとも２個あるから、ポイントは
（１＋２＋３＋４）×２
＝２０ポイント
以上となります。 ←下限チェック！
２０ポイントの場合は、各行に長方形（の一部）が２個ずつあるようにすることになります。
等差数列の和の公式の求め方をイメージすると、解答例が得られます。 ←１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＝（１＋８）＋（２＋７）＋（３＋６）＋（４＋５）
出題者がわざわざ２０ポイントの場合と３０ポイントの場合を問うているので、（１＋２＋３＋４）×３＝３０ポイントとなるようなもの、つまり、各行に長方形（の一部）が３個ずつあるようなものをとりあえず考えることにします。
７と５は横長の状態で置くしかないので、とりあえず、１行と２行目に置きます。
ここで、４＋６＋８＝２×（２＋３＋４）＝２×９であることに着目し、４、６、８を３行目と４行目に置くと、解答例がすぐに見つけられます。 ←７を置いた１行目に長方形（の一部）を２個置かないといけないから、縦長の長方形の一部を１個以上１行目に（結果的に２行目にも）置く必要があることに着目してもよいでしょう。
（３）
（図３）を見ると、１行に長方形（の一部）が５個まで置けることがわかりますね。
７と５は横長の状態で置くしかないので、１行に長方形（の一部）を７個以上置くことはできません。
１行に長方形（の一部）を、５と７以外の６個を置くことは一応できます（縦長を駆使します）が、５と７を置くことができなくなってしまいます。
そこで、１行に長方形（の一部）をなるべく下の行に５個置くことを考えます。
まず、４、３、２の長方形を縦長の状態で図のように置きます。 ←この時点で、３行目と４行目に長方形（の一部）が４個以上置かれることが確定するので、横長の長方形１個で埋め尽くさない限り、３行目と４行目の長方形（の一部）が５個にできますね。
次に、７と５の長方形を図のように置きます。
残った１と６と８の配置を考えることになりますが、６と８を縦長の状態で置くことができないので、１を置く場所が決まり、解答例がすぐに得られます。
なお、７を置いた１行目には、長方形（の一部）を３個までしか置くことができず、５を置いた２行目に５個の長方形（の一部）を置こうとすると、３行目と４行目に５個の長方形（の一部）を置けなくなるので、上の解答例がベストだとわかりますね。
