開成中学校１９９９年算数第２問（解答・解説）
まず、メインの問題を先に解きます。
（２）
[カ]に入れる分数を〇/３６０（〇は１以上３５９以下の整数）とします。
△/６÷〇/３６０ （△は１から５までの整数）
＝△×６０/〇
が整数となるためには、〇が△×６０（６０、１２０、１８０、２４０、３００）の約数となればいいですね。
６０の約数はすべて１２０の約数に含まれ、１２０の約数はすべて２４０の約数に含まれるから、結局、１以上３５９以下の整数のうち、１８０、２４０、３００の約数となるものの個数を求めればよいことになります。
６０＝２×２×３×５
１８０＝２×２×３×３×５ ←６０×３となることを利用しました（以下同じ）。
２４０＝２×２×２×２×３×５
３００＝２×２×３×５×５
となるから、６０、１８０、２４０、３００の約数の個数はそれぞれ
３×２×２＝１２個 ←素因数２の使用個数が０個〜２個の３通りあり、そのそれぞれに対して、素因数３の使用個数が０個か１個の２通りあり、そのそれぞれに対して、素因数５の使用個数が０個か１個の２通りあるからです（以下同じ）。約数の個数の求め方については、神戸女学院中学部１９９５年算数２日目第４問の解答・解説を参照しましょう。
３×３×２＝１８個
５×２×２＝２０個
３×２×３＝１８個
となります。
したがって、求める個数は
（１８０の約数の個数）＋（２４０の約数の個数）＋（３００の約数の個数）−｛（１８０と２４０の公約数の個数）＋（２４０と３００の公約数の個数）＋（３００と１８０の公約数の個数）＋（１８０と２４０と３００の公約数の個数 ←ヴェン図を思い浮かべましょう。〜「ひきすぎたら、たす」
１８＋２０＋１８−（１２＋１２＋１２）＋１２ ←１８０と２４０の公約数、２４０と３００の公約数、３００と１８０の公約数、１８０と２４０と３００の公約数はいずれも６０の約数となります。
＝３２個
となります。
（１）
（a）
性質Ａは
１/６÷〇/３６０
＝６０/〇
が整数となるということだから、〇は６０の約数となります。
したがって、求める個数は１２個となります。
（b）
性質Ｂは
２/６÷〇/３６０
＝１２０/〇
が整数となるが、６０/〇が整数とならないということだから、〇は１２０の約数のうち６０の約数でないものとなります。
１２０＝２×２×２×３×５だから、〇は１２０の約数のうち８の倍数のもの（素因数２を３個含むもの）となり、求める個数は
１×２×２ ←素因数２の使用個数が３個の１通りあり、素因数３の使用個数が０個か１個の２通りあり、そのそれぞれに対して、素因数５の使用個数が０個か１個の２通りあるからです。
＝４個
となります。
（c）
性質Ｃは
４/６÷〇/３６０
＝２４０/〇
が整数となるが、１２０/〇と６０/〇がともに整数とならないということだから、〇は２４０の約数のうち１２０の約数でも６０の約数でもないものとなります。
２４０＝２×２×２×２×３×５だから、〇は２４０の約数のうち１６の倍数のもの（素因数２を４個含むもの）となり、求める個数は
１×２×２ ←素因数２の使用個数が４個の１通りあり、、素因数３の使用個数が０個か１個の２通りあり、そのそれぞれに対して、素因数５の使用個数が０個か１個の２通りあるからです。
＝４個
となります。