京都女子中学校２００９年Ａ算数第６問（解答・解説）
Ａを□で割ると、（□−１）余ることから、Ａ＋１は□で割り切れることがわかります。 ←何とか割り切れるようにならないかと考えることが大切です。
（１）
Ａ＋１は、８でも１０でも割り切れる数、つまり、４０（８と１０の最小公倍数）の倍数となります。
もっとも小さい数を考えるのだから、Ａは
４０−１
＝３９
となります。
因（ちな）みに、２番目に小さいＡは、４０×２−１＝７９となります。３９×２＝７８としてしまうミスが結構見られるので、注意しましょう。
（２）
Ａ＋１は、２でも３でも４でも５でも６でも７でも８でも９でも１０でも割り切れる数、つまり、２、３、４、５、６、７、８、９、１０の最小公倍数の倍数となります。
２、３は６に含まれ、４は８に含まれ、５は１０に含まれるので、２、３、４、５、６、７、８、９、１０の最小公倍数と６、７、８、９、１０の最小公倍数は一致します。
さらに、６（２×３）は、８×９に含まれ、１０（２×５）のうち、２は８に含まれることから、結局、７、８、９、５の最小公倍数を考えればいいことになります。
７、８、９、５は互いに素（１以外に公約数を持たない）なので、７、８、９、５の最小公倍数は
７×８×９×５
＝７×９×４０ ←偶数の８と５を先に計算します。〜「５と２は仲良し」
＝６３×４０
＝２５２０
となります。
したがって、最も小さいＡは
２５２０−１
＝２５１９
となります。
なお、２、３、４、５、６、７、８、９、１０の最小公倍数を地道に求めると、次のようになります。
２）２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
２）１ ３ ２ ５ ３ ７ ４ ９ ５
３）１ ３ １ ５ ３ ７ ２ ９ ５
５）１ １ １ ５ １ ７ ２ ３ ５
１ １ １ １ １ ７ ２ ３ １
２×２×３×５×１×１×１×１×１×７×２×３×１
＝２５２０
（２）で説明した考え方を使うと、日本数学オリンピック２００８年予選第１問（４つの相異なる１桁の正の整数がある。これらの最小公倍数として考えられる最大の値を求めよ。）の答えが２５２０となることがすぐにわかります。