ラ・サール中学校２０２３年算数第５問（解答・解説）
メインの（３）から解きます。
（３）
三角形ＣＰＱと三角形ＣＤＦは相似（相似比はＣＰ：ＣＤ＝６：（６＋７）＝６：１３、面積比は（６×６）：（１３×１３）＝３６：１６９）だから、ＰＱの長さを⑥とすると、ＤＦの長さは⑬となり、三角形ＣＤＦの面積は１６９cm2となります。
平行四辺形ＡＥＦＤの面積は、
台形ＰＱＦＤの面積×（⑬×２）/（⑬＋⑥） ←平行線と面積比～高さ一定⇒面積比＝「上底＋下底」の比
＝（１６９－３６）×２６/１９
＝７×２６ ←うまく約分できましたね。
＝１８２cm2
となります。
四角形ＡＢＣＤの面積と四角形ＢＥＦＣの面積の和は、等積変形により、四角形ＡＥＦＤの面積と等しくなるから、求める面積は
四角形ＡＢＣＤの面積＋四角形ＢＥＦＣの面積＋三角形ＣＤＦの面積
＝１８２＋１６９
＝３５１cm2
となります。
（１）
ＰＱ：ＱＥ＝２：１だから、ＱＥ＝⑥×１/２＝③となります。
三角形ＱＥＦの面積は
台形ＰＱＦＤの面積×（③）/（⑬＋⑥） ←平行線と面積比～高さ一定⇒面積比＝「上底＋下底」の比
＝（１６９－３６）×３/１９
＝７×３
＝２１cm2
となります。
（２）
四角形ＡＥＦＤが平行四辺形であることからＡＰ＝⑬－③－⑥＝④となります。
三角形ＱＥＦと三角形ＡＰＤは高さが等しく、底辺の比が③：④＝３：４だから、面積の比も３：４となります。 ←上と同様にしても解けますが、「高さ一定⇒三角形の面積比＝底辺比」を利用して解くことにします。
したがって、三角形ＡＰＤの面積は２１×４/３＝２８cm2となります。