ラ・サール中学校１９９０年算数１日目第５問（解答・解説）
２地点間を何度も往復する問題なので、進行グラフ（ダイヤグラム）をかいて整理します。
ＡがＰＱ間（片道）の距離を進む時間＝４２００÷７００＝６分
ＢがＰＱ間（片道）の距離を進む時間＝４２００÷３００＝１４分
まず、６分毎に４２分（（★）を参照）まで目盛りを取って、Ａのグラフをかきます。
次に、１４分毎に４２分まで目盛りを取って、Ｂのグラフをかきます。
最後に、出会い（同じ位置にくる直前が反対方向ですね）を○、追いつき（同じ位置にくる直前が同一方向ですね）を×というようにしるしをつけます。
（★）４２というのは、６と１４の最小公倍数になります。
Ａは６×２＝１２分間でＰＱ間を１往復し、ＢはＰＱ間を１４×２＝２８分間で１往復するので、Ａ、Ｂは８４（１２と２８の最小公倍数）分間でスタート時と同じ状況になります。
したがって、グラフは８４分を１周期（ひとかたまり）として、同じことの繰り返しとなります。
ところで、４２分の地点では、Ａはスタート地点Ｐとは逆のＱにいて、Ｂはスタート地点Ｑとは逆のＰにいますね。
いま、４２分までのグラフを逆から見る（右から左に見る）と、ＡはＱからスタートして、４２分間でＰに到着し、ＢはＰからスタートし、４２分間でＱに到着していますね。
これは、まさに４２分〜８４分の状況と同じですね。
結局、４２分〜８４分までのグラフと０分〜４２分までのグラフは４２分の縦線（図の点線）で線対称になるので、０分〜４２分までのグラフをしっかりかけばよいことになります。 対称性を利用して作業を減らす！
なお、０〜４２分のＡのグラフは点対称図形で、Ｂのグラフも点対称図形ですから、２１分のところまでの出会い、追いつきの回数を数えれば足りますね。 対称性を利用して作業を減らす！
さて、問題を解く準備が整いました。
（解法１）出会いから出会い（追いつきから追いつき）までの距離（時間）が等しい（本問の場合４２００×２ｍ）ことを利用して解きます。
（１）出発して、２回目に、Ａ、Ｂが同じ地点にくるのは、１回目の追いつきだから、
４２００÷（７００−３００）＝１０．５分
となります。 追いつきの速さ＝速さの差
（２）出発して、５回目に、Ａ、Ｂが同じ地点にくるのは、４回目の出会いだから、
４２００×（１＋２×３）÷（７００＋３００）＝２９．４分
となります。 出会いの速さ＝速さの和
なお、１回目の出会いまでの距離はＰＱ片道分、１回目の出会いから２回目の出会いまでの距離はＰＱ往復分、２回目の出会いから３回目の出会いまでの距離はＰＱ往復分、３回目の出会いから４回目の出会いまでの距離はＰＱ往復分だから、４回目の出会いまでの距離は４２００×（１＋２×３）となります。
（３）進行グラフから、８４分間（１周期）にＡ、Ｂが同じ地点にくるのは、７×２＝１４回（出会い５×２＝１０回、追いつき２×２＝４回）だとわかります。
１００＝１４×７＋２（１００÷１４＝７・・・余り２）だから、１００回目にＡ、Ｂが同じ地点にくるのは、８周期目の１回目の追いつきだから、求める時間は、
８４×７＋１０．５＝５９８．５分
となります。
なお、４×７＋１＝２９回目の追いつきと考えて、
４２００×（１＋２×２８）÷（７００−３００）＝５９８．５分
としてもいいでしょう。
（解法２）グラフを図形に見立てて解きます。
（１）
（２）
（３）は（解法１）と同じです。
１９９８年１日目第４問なども本問とほぼ同じ問題なので、チャレンジしましょう！
