ラ・サール中学校１９９７年算数１日目第４問（解答・解説）
（解法１）道の選び方の問題には、次のような有名な問題があります。
（問題）次の図で、点Ｐから点Ｑまで遠回りしないで行く方法は、全部で何通りありますか。
この問題に対しては、下図のように、角の点までの行き方を書き込む解法があります。
ある角までの行き方は、その手前の角までの行き方の和なっています。
この方法を、本問に応用します。
ただし、本問題の場合、同じ地点を何度も通るために数字で混乱する可能性がありますので、各秒ごとに数字にしるしをつけていきます。
数字を書き込んでいくうちに、同じ時間のＡの数字とＢの数字の差が常に１となっていて、大きいほうが１秒ごとに入れ替わっていることもわかりますね。そのことに着目して解くこともできます。
上の図より、（１）６通り（２）２１通り（３）６０通りとわかります。
この解法と同様の考え方で解ける過去問は、１９８９年１日目第５問、１９９３年１日目第４問（本問とほぼ同じ）、１９９５年２日目第４問（本問とほぼ同じ）などがあります。
（解法２）
Ｂ、Ｃ、Ｄは条件的に同じだから、Ｂ＝Ｃ＝Ｄとなります。
逆から見る（ピンク色の矢印）と、Ａ＝（１秒前のＢ）＋（１秒前のＣ）＋（１秒前のＤ）＝（１秒前のＢ）×３となります。
また、Ｂ＝（１秒前のＡ）＋（１秒前のＣ）＋（１秒前のＤ）＝（１秒前のＡ）＋（１秒前のＢ）×２となります。
あとは、表を完成させればおしまいですね。
この解法と同様の考え方で解ける過去問は、９３年１日目第４問（本問とほぼ同じ）、９５年２日目第４問（本問とほぼ同じ）、９６年１日目第５問、９９年２日目第４問などがあります。
（解法３）
この解法と同様の考え方で解ける過去問は、１９８９年１日目第５問（３）などがあります。
（解法４）
各頂点から３本の辺が出ているので、１秒ごとに３通りの行き方があります。
移動の際、Ｂ、Ｃ、Ｄの条件の対等性に着目するとよいでしょう。
１秒後のすべての場合の数は３通りとなります。
１秒後にＡに移動する場合の数は明らかに０通りとなります。
１秒後にＢ、Ｃ、Ｄのいずれかに移動する場合の数は３（３−０）通りとなります。
２秒後のすべての場合の数は３×３=９通りとなります。
２秒後にＡに移動する場合の数は、１秒後はどこに移動してもよく、２秒後はＡに移動するので、３×１=３通りとなります。
２秒後にＢ、Ｃ、Ｄのいずれかに移動する場合の数は９−３＝６通りとなります。 ←条件の対等性により、２秒後にＢ、Ｃ、Ｄのそれぞれに移動する場合の数は６/３＝２通りとなります。
３秒後のすべての場合の数は３×３×３=２７通りとなります。
３秒後にＡに移動する場合の数は、２秒後にＢ、Ｃ、Ｄのいずれかに移動し、その１秒後にＡに移動するので、６×１=６通りとなります。
３秒後にＢ、Ｃ、Ｄのいずれかに移動する場合の数は２７−６＝２１通りとなります。 ←条件の対等性により、３秒後にＢ、Ｃ、Ｄのそれぞれに移動する場合の数は２１/３＝７通りとなります。
ここまですれば、作業の規則性がわかり、機械的に処理できます。
１秒後 すべて ３通り Ａ ０通り Ａ以外（Ｂ、Ｃ、Ｄのいずれか） ３−０＝３通り
２秒後 すべて ３×３＝９通り Ａ ３通り Ａ以外（Ｂ、Ｃ、Ｄのいずれか） ９−３＝６通り
３秒後 すべて ３×３×３＝２７通り Ａ ６通り Ａ以外（Ｂ、Ｃ、Ｄのいずれか） ２７−６＝２１通り
４秒後 すべて ３×３×３×３＝８１通り Ａ ２１通り Ａ以外（Ｂ、Ｃ、Ｄのいずれか） ８１−２１＝６０通り
５秒後 すべて ３×３×３×３×３＝２４３通り Ａ ６０通り Ａ以外（Ｂ、Ｃ、Ｄのいずれか） ２４３−６０＝１８３通り
（練習問題）２つの細胞（さいぼう）ＡとＢがあって、Ａは、１秒ごとに１回変形し、Ｂ１個になり、Ｂは、１秒ごとに１回分裂し、Ａ３個とＢ２個になることがわかっている。最初、Ａ１個からスタートするとして、７秒後にＡは□個となる。
（解答）
逆から見る（ピンク色の矢印）と、（ある時間のＡの個数）＝（１秒前のＢの個数）×３となります。
また、（ある時間のＢの個数）＝（１秒前のＡの個数）＋（１秒前のＢの個数）×２となります。
あとは、表を完成させればおしまいですね。（解法２）の図を参照してください。
答えは、５４６になります。
灘中学校１９９６年１日目第９問も参照しましょう。灘中学校とラ・サール中学校の素敵な出会いにきっと感激するでしょう。(^^;)
