武蔵中学校２００２年算数第２問（解答・解説）
（１）
頂点Ｆから辺ＡＥに垂線ＦＩを下ろします。
直角三角形がたくさん登場するので、角度に記号をつけ、辺の比をチェックするとよいでしょう（この問題であれば、角度に記号をつけるまでもないですね）。
まず、三角形ＡＢＣと三角形ＡＩＦのピラミッド相似に注目します。
辺の比が
中：小 ←大の辺はわかりませんね（有名な辺の比の直角三角形（この場合は、辺の比が５：１２：１３の直角三角形）に関する知識を利用すれば、わかりますが・・・）。
＝ＡＢ：ＢＣ
＝（４＋４＋４）：５
＝１２：５
だから、ＡＩ：ＩＦ＝１２：５となります。
次に、三角形ＤＥＨと三角形ＩＥＦのピラミッド相似に注目します。
辺の比が
中：小 ←大の辺はわかりませんね（有名な辺の比の直角三角形（この場合は、辺の比が３：４：５の直角三角形）に関する知識を利用すれば、わかりますが・・・）。
＝ＤＥ：ＤＨ
＝４：３
だから、ＩＥ：ＩＦ＝４：３となります。
ＩＦ＝[１５]とします。 ←無用な分数（小数）を避けるため、３と５の最小公倍数でおきました。比合わせしても同じことです。
ＡＩ
＝[１５]×１２/５
＝[３６]
となり、
ＩＥ
＝[１５]×４/３
＝[２０]
となります。
[３６]＋[２０] ←ＡＥですね。
＝[５６]
が
４＋４
＝８cm
に相当するから、求める高さ（ＩＦ＝[１５]）は
８×[１５]/[５６]
＝１５/７cm
となります。
（２）
三角形ＦＨＣの面積
＝図形全体の面積−三角形ＦＨＣ以外の部分の面積
＝三角形ＡＤＨの面積＋台形ＢＣＨＤの面積−（三角形ＡＥＨの面積＋三角形ＡＢＣの面積−三角形ＡＥＦの面積） ←ヴェン図をイメージしましょう。
＝４×３×１/２＋（３＋５）×８×１/２−（８×３×１/２＋１２×５×１/２−８×１５/７×１/２）
＝６＋３２−（１２＋３０−６０/７）
＝３８−２３４/７
＝２６６/７−２３４/７
＝３２/７cm2
となります。
なお、ＦＪ（点Ｊは、ＩＦを延長した線と辺ＣＨの交点とします）の長さを求めて、三角形ＦＨＣの面積を直接公式で求めることもできます。
三角形ＦＨＣの面積
＝ＦＪ×ＢＤ×１/２ ←こうなることは、等積変形で確認できます（詳細は省略）。
＝｛３＋（５−３）÷８×（４−２０/７）−１５/７｝×８×１/２ ←ＦＪ＝ＪＩ−ＩＦですね。ＪＩの長さは、変化量を利用して求めました（詳細は省略）。
＝３２/７cm2
となります。
