灘中学校２００３年算数２日目第３問（解答・解説）
点の移動の仕方が複雑なので、まずしっかりと確認しましょう。
移動の仕方を書き込んだものが次の図です。
Ｐは１辺を６÷２＝３秒で進み、１周（６辺分の距離）するのに、３×６＝１８秒かかります。
Ｐは１８秒間ではじめの状態に戻り、以後同様の繰り返しになりますね。
Ｑは１辺を６÷３＝２秒で進み、１周（６辺分の距離）するのに、２×６＝１２秒かかります。
Ｑは１２秒間ではじめの状態に戻り、以後同様の繰り返しになりますね。
Ｐ、Ｑは３６（１８と１２の最小公倍数）秒間で、はじめの状態に戻るので、３６秒間だけ調べればいいですね。
Ｐ、Ｑが出会う可能性がある辺は、Ｐ、Ｑの共通の通り道である辺ＡＥと辺ＣＧだけなので、この２つの辺にくる場合だけを調べればいいですね。
書き出して調べます。
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Ｐ
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Ｑ
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ＡＥ
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ＧＣ
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ＣＧ
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ＥＡ
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０～３
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９～１２
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４～６
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１０～１２
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１８～２１
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２７～３０
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１６～１８
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２２～２４
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３６
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２８～３０
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３４～３６
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辺の重なりと時間の重なりを調べる（チェックする場合の少ない、Ｐに注目して調べるといいでしょう）と、上のピンク色の部分と水色の部分で出会うことがわかります。３６秒間で２回出会うことがわかります。２回目は明らかに３６秒後ですね。
（１）
出会う可能性があるのは、２８秒から３０秒の間ですね。
まず２８秒後のＰとＱの位置を確認しましょう。
ＱはＣにいますね。
ＰはＧから２×１＝２cm進んだところにいます。
これを図にすると、右図のようになります。
あとは、旅人算（出会い）で処理できますね。
Ｐ、Ｑがはじめて出会うのは
２８＋４÷（２＋３）
＝２８．８秒後
となります。
（２）
Ｐ、Ｑは、１周期（３６秒間）に２回出会うので、５回目に出会うのは、３周期目の１回目の出会いになりますね。
したがって、Ｐ、Ｑが５回目に出会うのは
３６×２＋２８．８
＝１００．８秒後
となります。
（別解）
Ｐ、Ｑが同じ道を通ると考えて、次のような進行グラフをかいて解くこともできます（ＰがＡ→Ｅ→Ｈ→Ｇ→Ｃ→Ｂ→Ａの順に進み、Ｑが逆順に進むと考えて、ＡＥ、ＣＧ上で出会う場合を考えます）。ただし、進行グラフをある程度正確にかけなければ間違う可能性があります。
（１）
三角形ＡＢＣと三角形ＡＤＥのちょうちょ相似（相似比は、ＢＣ：ＤＥ＝（３６－１８）：（３６－２４）＝３：２）に注目すると、
ＢＡ：ＤＡ＝３：２
とわかりますね。
次に、三角形ＢＦＡと三角形ＢＣＤのピラミッド相似（相似比は、ＢＡ：ＢＤ＝３：（３＋２）＝３：５）に注目すると、
ＢＦ：ＢＣ＝③：⑤
とわかります。
⑤が３６－１８＝１８秒に相当するから、Ｐ、Ｑがはじめて出会うのは
１８＋１８×③/⑤
＝１８＋１０．８
＝２８．８秒後
となります。
（２）は、最初の解法と同じですね。
