灘中学校２００７年算数１日目第３問（解答・解説）
先頭が２で末尾が７、間がすべて０である整数は、各位の数の和が９の倍数だから、必ず９で割り切れます。 ←９の倍数の判定法（ある整数の各位の数の和が９の倍数であれば、その整数は９の倍数である。）を利用しました。
そこで、各数を９で割ったときの商を考えることにします。
２７＝９×３、８１＝９×９だから、各数を９で割ったときの商が、３では割り切れるが、９では割り切れないものであればいいですね。
（２７÷９＝３・・・各位の数の和＝３×） ←０がない場合も同様に考えることができますね。
２０７÷９＝２３・・・各位の数の和＝３＋２＝５×
２００７÷９＝２２３・・・各位の数の和＝３＋２×２＝７×
２０００７÷９＝２２２３・・・各位の数の和＝３＋２×３＝９×（３で割り切れますが、９でも割り切れるので駄目ですね。）
２００００７÷９＝２２２２３・・・各位の数の和＝３＋２×４＝１１×
２０００００７÷９＝２２２２２３・・・各位の数の和＝３＋２×５＝１３×
２００００００７÷９＝２２２２２２３・・・各位の数の和＝３＋２×６＝１５○（３で割り切れますが、９では割り切れないので、すべての条件を満たしますね。）
いちいち全部計算しなくても、先頭の２と末尾の７の間の０が１個増えると、各位の数の和が２増える（公差２の等差数列になっている）ことはすぐにわかりますね。 ←（参考）を参照しましょう。
求める数は２００００００７となります。
（参考）
例えば、
２００７
＝２０００＋７
＝２×（９９９＋１）＋７ ←９の倍数の判定法を学習したときに、同様の変形が出てきたはずです。
＝２×９９９＋２×１＋７ ←分配法則を利用しました。
＝２×９９９＋９ ←共通する数（９）に注目して、分配法則の逆を利用しました。
＝９×（２２２＋１）
＝９×２２３
となります。
同様に、
２０００７
＝２００００＋７
＝２×（９９９９＋１）＋７
＝２×９９９９＋２×１＋７ ←分配法則を利用しました。
＝２×９９９９＋９ ←共通する数（９）に注目して、分配法則の逆を利用しました。
＝９×（２２２２＋１）
＝９×２２２３
となります。
このことを一般化すると、次のようになります。
２０・・・０７（０が□個）
＝２０・・・・００＋７（０が（□＋１）個）
＝２×（９９・・・９＋１）＋７（９が（□＋１）個）
＝２×９９・・・９＋２×１＋７ ←分配法則を利用しました。
＝２×９９・・・９＋９
＝９×（２２・・・２＋１）（２が（□＋１）個） ←共通する数（９）に注目して、分配法則の逆を利用しました。
＝９×２２・・・２３（２が□個）
結局、２×□＋３が３では割り切れる（□が３の倍数でなければならないことはすぐにわかりますね）が９では割り切れないという条件を考えればいいことになります。
□＝３のとき、２×３＋３＝９となるので、駄目ですが、□＝６のとき、２×６＋３＝１５となるので、すべての条件を満たしますね。