灘中学校２００８年算数２日目第３問（解答・解説）
（１）
まず、８人のうちの１人に注目します。
この人と同じ組になる人の決め方は、７通りあります。
次に、残った６人のうちの１人に注目します。
この人と同じ組になる人の決め方は、５通りあります。
次に、残った４人のうちの１人に注目します。
この人と同じ組になる人の決め方は、３通りあります。
最後に、残った２人のうちの１人に注目します。
この人と同じ組になる人の決め方は、１通りあります。 ←最後の２人は同じ組にならざるを得ないので、このように考えなくても、１通りであることは明らかですね。
したがって、求める場合の数は
７×５×３×１ ←「同時に起こる⇒積の法則」
＝１０５通り
となります。
少し面倒ですが、とりあえず、４つの組に名前があると考えて、４つの組に入る人の組み合わせを確定した後、組に区別がないことを考慮（組の入れ替えの場合の数（４×３×２×１）で割る）してもよいでしょう。
１つ目の組に入る人の決め方が（８×７）/（２×１）通りあり、そのそれぞれに対して、２つ目の組に入る人の決め方が（６×５）/（２×１）通りあり、そのそれぞれに対して、３つ目の組に入る人の決め方が（４×３）/（２×１）あり、そのそれぞれに対して、４つ目の組に入る人の決め方が１通りあるから、求める場合の数は
（８×７）/（２×１）×（６×５）/（２×１）×（４×３）/（２×１）×１×１/（４×３×２×１）
＝１０５通り
となります。
（２）
先生Ａと同じ組になる生徒の決め方が４通りあり、そのそれぞれに対して、先生Ｂと同じ組になる生徒の決め方が３通りあり、そのそれぞれに対して、先生Ｃと同じ組になる生徒の決め方が２通りあり、そのそれぞれに対して、先生Ｄと同じ組になる生徒の決め方が１通りあるから、求める場合の数
４×３×２×１ ←単なる順列ですよね。（＾＾；）
＝２４通り
となります。
（３）
（Ｐ）
まず、８人のうちの１人に注目します。
この人と同じ組になる人の決め方は、同じ中学の人以外の６通りあります。
（Ｑ）
次に、残った６人のうちの１人（最初に決めた組の２人のどちらかと同じ組の人（どちらでもかまいません））に注目します。
この人と同じ組になる人の決め方は、５通りありますが、最初に決めた組の残り１人（今回注目した人と同じ中学校でない人ですね）とそれ以外の４人では状況が異なるので、場合分けして考えます。
（あ）最初に決めた組の残り１人の場合
残った４人は、同じ中学校から来た人の組が２つになっていますね。
（参考図）ab ab ccdd
残った４人のうちの１人に注目します。
この人と同じ組になる人の決め方は、同じ中学の人以外の２通りあります。
（い）最初に決めた組の残り１人以外の４人の場合
残った４人は、同じ中学校から来た人が１組（２人）で、あとは別々の中学校から来た２人になっていますね。
（参考図）ab ac bcdd
同じ中学校から来た人のうちの１人に注目します。
この人と同じ組になる人の決め方は、同じ中学の人以外の２通りあります。
残りの２人（別々の中学校から来た２人になっていますね）は自動的に同じ組になります。
以上より、求める場合は、
６×（１×２＋４×２） ←（Ｐ）と（Ｑ）は同時に起こるので、積の法則が適用され、（あ）と（い）は同時に起こらないので、和の法則が適用されますね。（あ）と（い）のそれぞれの中では、同時に起こるので、積の法則が適用されます。
＝６０通り
となります。
（別解）
すべての場合（（１）で求まっていますね）から、同じ中学校の組がある場合を引いて求めます。
この考え方であれば、樹形図のようなもので書き出しても何とか解けるでしょう。
（あ）同じ中学校の組が１つだけの場合
例えば、Ａアの場合を考えます。
残った６人の組み合わせは
Ｂウ Ｃエ Ｄイ
ＣＤ イエ
Ｂエ Ｃイ Ｄウ
ＣＤ イウ
ＢＣ Ｄイ ウエ
Ｄウ イエ
ＢＤ Ｃイ ウエ
Ｃエ イウ
の８通りあります。
同じ中学校になる組の選び方は４通りあり、そのそれぞれについて、上の例の場合のように８通りあるから、この場合は、全部で
４×８
＝３２通り
あります。
（い）同じ中学校の組が２つだけの場合
例えば、Ａア、Ｂイの場合を考えます。
残った４人の組み合わせは
Ｃエ Ｄウ
ＣＤ ウエ
の２通りあります。
同じ中学校になる組の選び方は
（４×３）/（２×１）
＝６通り
あり、そのそれぞれについて、上の例の場合のように２通りあるから、この場合は、全部で
６×２
＝１２通り
あります。
（う）同じ中学校の組が３つだけの場合
同じ中学校の組でない残った２人も必然的に同じ組になるので、この場合はありえませんね。
（え）同じ中学校の組が４つの場合
この場合は１通りありますね。
以上より、求める場合の数は
１０５−（３２＋１２＋１）
＝６０通り
となります。