灘中学校２０１０年算数２日目第３問（解答・解説）
[ｘ]はガウス記号と呼ばれる記号になります。
（１）
（２０＋２０１０）/７＝２９０を利用すれば簡単に計算できます。
（ア）
[２０/７]＝[２＋６/７]＝２
[２０１０/７]＝[２８７＋１/７]＝２８７ ←２０１０/７を帯分数にしたのではありません。２＋６/７に足して２９０になる数を求めただけです（イ）についても同様）。一応の建前としてはこういうことですが、実際には、（２）で述べた「ゴミ箱行き」があることを確認して、[２０/７]＋[２０１０/７]＝２９０−１＝２８９として求めています。
だから、[２０/７]＋[２０１０/７]＝２＋２８７＝２８９となります。
（イ）
[３０/７]＝[４＋２/７]＝４
[２０００/７]＝[２８５＋５/７]＝２８５
だから、[３０/７]＋[２０００/７]＝４＋２８５＝２８９となります。
（２）
（１）を利用して、両端から１個ずつ組み合わせて和を求めます。
与えられた式は２００個の数の足し算になります。 ←分子の０をカットした数（２、３、４、・・・、２０１）の個数を数えればすぐにわかりますね。
求める和は
２８９×２００/２
＝２８９００
となりそうですが、実際にはそうなりません。
両端から１個ずつ組み合わせたとき、真分数部分（合計１）が「ゴミ箱行き」になっていますが、真分数部分がないとき（ガウス記号の中身が整数となる、つまり７の倍数となるとき）、「ゴミ箱行き」の数が発生せず、和が２９０となります。
そこで、この部分を調整する必要があります。
２０、３０、４０、・・・、２０１０のうち７の倍数の個数は、２、３、４、・・・、２０１の７の倍数の個数と一致し、１は７の倍数でないことから、１以上２０１以下の整数の７の倍数の個数と一致します。
[２０１/７]
＝２８
だから、７の倍数は２８個あり、この７の倍数は２個ずつペアになるので、２個の和が２９０となるのは２８/２＝１４個あります。
したがって、求める和は２８９００＋１４＝２８９１４となります。
因みに、広中杯（算数オリンピックの中学生版）で同じような問題が出されています（広中杯２００１年トライアル第３問）。
（３）
説明が面倒なので、以下、[ｘ]をｘの整数部分と表記します。
分子と２０の倍数を比べればいいですね。
少し書き出して調べていきます。 ←実際には、（４）のように、書き出さなくても答えが求められますが、問題状況を把握するため、少し書き出して調べることにします。
１×１、２×２、３×３、４×４・・・整数部分は０
２０×１
５×５、６×６・・・整数部分は１
２０×２
７×７・・・整数部分は２
２０×３
８×８・・・整数部分は３
２０×４
９×９・・・整数部分は４
２０×５＝１０×１０・・・整数部分は５
１１×１１以上の平方数においては、１つの前の平方数より１０＋１１＝２１以上増えるので、これを２０で割ったとき１以上増えることになり、整数部分はすべて異なります。 ←一般に、連続する２つの平方数（□×□と（□＋１）×□＋１））の差は□＋（□＋１）となります（２つの正方形を重ね合わせる面積図を思い浮かべればすぐにわかることです）が、このことを利用しました（（４）でもこのことを利用しています）。
結局、与えられた２０個の整数の中には、整数は全部で１６種類あります。
なお、１０×１０以下の平方数においては、連続する平方数の差は９＋１０＝１９以下だから、これを２０で割ったとき整数が２以上増えることはありません。
この問題ではこのことを使うまでもないですが、（４）ではこのことを使って解きます。
（４）
３５×３５以上の平方数においては、１つ前の平方数より３４＋３５＝６９以上増えるので、これを６８で割ったとき１以上増えることになり、整数部分はすべて異なります。
３４×３４以下の平方数においては、連続する平方数の差は３３＋３４＝６７以下だから、これを６８で割ったとき整数が２以上増えることはありません。
[３４×３４/６８]＝１７だから、与えられた２０１０個の整数の中に０以上１７以下の１８個の整数はすべてあります。
また、これら以外に２０１０−３４＝１９７６個の整数があるから、全部で
１９７６＋１８
＝１９９４種類
の整数があります。