灘中学校２０１０年算数２日目第４問（解答・解説）
（１）
一般に、正四面体にぴったり入る正八面体の体積は正四面体の体積の１/２倍になります。 ←１辺が２の正四面体の体積（２×２×２＝８とします）から、１辺が１の正四面体の体積（１×１×１＝１）を４個分ひけば、正八面体の体積になるので、正八面体の体積は正四面体の体積の（８−１×４）/８＝１/２倍となりますね。
したがって、立体Ｐの体積は
４０×１/２
＝２０cm3
となります。
（２）
立体Ｐが２点Ｉ、Ｊを通る直線のまわりに１回転する間に通過する部分と立体Ｐは、高さが等しい錐体（２個分）になるので、体積比＝底面積となりますね。
直線ＩＪと正方形ＥＦＧＨの交点（正方形ＥＦＧＨの中心）からの最長距離と最短距離（この問題では最短距離を考慮する必要はありません）に注目すると、底面の様子は次の図のようになります。
灘中学校２０００年１日目第１１問の解説にある知識を利用すると、立体Ｐが２点Ｉ、Ｊを通る直線のまわりに１回転する間に通過する部分の体積が立体Ｐの体積の
３．１４/２
＝１．５７倍
となることはすぐにわかりますね。
（３）
立体Ｐが２点Ｉ、Ｊを通る直線のまわりに１回転する間に、図３の斜線をつけた三角形ＥＦＩが通過する部分と四角すいＩ−ＥＦＧＨ（正八面体Ｐの半分の体積）は、高さが等しい錐体になるので、体積比＝底面積となりますね。
直線ＩＪと正方形ＥＦＧＨの交点（正方形ＥＦＧＨの中心）からの最長距離と最短距離に注目すると、底面の様子は次の図のようになります。
（２）同様、灘中学校２０００年１日目第１１問の解説にある知識を利用すると、立体Ｐが２点Ｉ、Ｊを通る直線のまわりに１回転する間に、図３の斜線をつけた三角形ＥＦＩが通過する部分の体積が
２０×１/２×（３．１４−１．５７）/２
＝７．８５cm3
となることはすぐにわかりますね。