灘中学校２０１１年算数１日目第５問（解答・解説）
（合計金額を５０円にする場合）
高額な硬貨を使うほうから順に書き出します。
表（のようなもの）にするとわかりやすいでしょう。
残りの金額は１円硬貨で支払うことになるので、１円硬貨については考慮する必要はありません。
５０円 １ ０
１０円 ０ ５ ４ ３ ２ １ ０
５円 ０ ０ ２〜０ ４〜０ ６〜０ ８〜０ １０〜０
全部で
１＋（１＋３＋５＋７＋９＋１１）
＝１＋６×６ ←１から連続する奇数の和が平方数となることを利用しました。連続する６個の奇数の和となることは、１０円硬貨の枚数（５、４、、・・・、１、０）に注目するとすぐにわかりますね。なお、１×１＋６×６とすると、規則性がわかりやすくなります。
＝３７通り
あります。
（合計金額を１００円にする場合）
５０円 ２ １ ０
１０円 ０ ☆ １０ ９ ８ ７ ・・・１ ０
５円 ０ ☆ ０ ２〜０ ４〜０ ６〜０・・・１８〜０ ２０〜０
☆の部分は（合計金額が５０円の場合）の５０円硬貨を使わない場合（３６通り）ですね。
全部で
１＋３６＋（１＋３＋５＋７＋・・・＋１９＋２１）
＝１＋３６＋１１×１１ ←１から連続する奇数の和が平方数となることを利用しました。連続する１１個の奇数の和となることは、１０円硬貨の枚数（１０、９、８、・・・、１、０）に注目するとすぐにわかりますね。なお、１×１＋６×６＋１１×１１とすれば規則性がわかるでしょう。合計金額が１５０円、２００円、・・・となる場合が何通りあるか考えてみましょう。灘中なら、１５０円や２００円の場合を出題してほしかったなあという感じがします。
＝１＋３６＋１２１
＝１５８通り
あります。