灘中学校２０１６年算数１日目第８問（解答・解説）
三角形ＦＱＲの面積が正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の何倍かを求め、ＱＳ：ＳＦの比で比例配分して、三角形ＱＲＳの面積が正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の何倍かを求めるという方針で解きます。 ←三角形において、底辺一定⇒高さの比＝面積の比となるから、三角形ＳＱＲの面積：三角形ＦＳＲの面積＝ＱＳ：ＳＦとなります。
辺の比を求める場合、相似比か面積比を利用することになりますが、ここでは面積比を利用して解きます。
ＱＳ：ＳＦ＝三角形ＰＱＲの面積：三角形ＦＰＲの面積となります。 ←三角形において、底辺一定⇒高さの比＝面積の比となります。
次の図のように等積変形して考える（Ｔは辺ＣＤの真ん中の点です）と、ＱＳ：ＳＦ＝三角形ＰＱＲの面積：三角形ＦＰＲの面積＝三角形ＰＵＲの面積：三角形ＦＰＲの面積＝ＵＶ：ＦＶとなります。
正六角形の六分割のイメージとピラミッド相似に注目すると、ＵＶ：ＦＶ＝３：４となることがわかります。
正六角形の六分割のイメージから、正六角形の１辺の長さ：正六角形の最も長い対角線（ここではＣＤ：ＢＥ）＝１：２となり、ＱＲは、ＣＤとＢＥの平均だから、正六角形の１辺の長さの（１＋２）/２＝３/２となります。
三角形ＦＱＲと黄色の正三角形（正六角形の１/６）は、底辺の比が
１：３/２
＝２：３
で、高さの比が
２：３ ←等間隔な平行線ＣＤ、ＱＲ、ＢＥ、ＰＷ（Ｗは辺ＦＥの真ん中の点）、ＡＦを考えればすぐにわかりますね。
だから、面積比は
（２×２）：（３×３） ←比の積・商〜三角形の面積比＝底辺の比×高さの比
＝４：９
となります。
したがって、三角形ＱＲＳの面積は、正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の
１/６×９/４×３/（３＋４）
＝９/５６倍
となります。
なお、三角形ＦＱＲの面積が正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の何倍か求める際、等積変形して「方眼紙」で考えることもできます（神戸女学院中学部２００３年算数第３問の解答・解説を参照）。
この問題と同様の問題が神戸女学院中学部（神戸女学院中学部２００７年算数第５問）で出題されているので、そちらもぜひ解いてみましょう。