灘中学校２０１７年算数２日目第４問（解答・解説）
図の黄色の三角形はすべて面積が等しくなります。
このことは、例えば、三角形ＡＢＣを点Ｂを中心に時計回りに９０度回転すると、三角形ＰＢＤの位置に来て、三角形ＤＢＩと三角形ＰＢＤの底辺と高さが等しくなることからすぐにわかります。
他の部分についても同様です。
したがって、六角形ＤＥＦＧＨＩの面積は
３×３＋４×４＋５×５＋３×４×１/２×４
＝７４cm2
となります。
（２）
正方形の１辺が斜辺となっている直角三角形があるので、合同な直角三角形をつけたし、大きな正方形を作り出すという方針で解きます。 ←実際には、必要な範囲だけの作業にとどめ、正方形を作り出していません。
１辺の長さが求まる正方形のところで作業を行います。
必要な長さを書き込むと（１）の図のようになります。
三角形ＩＲＯと三角形ＤＰＩは合同だから、対応する辺の長さが等しく、
ＯＲ
＝ＩＰ
＝３×２
＝６cm
となります。
したがって、
ＮＯ
＝３＋３＋６
＝１２cm
となります。
ここで、中心部分の黄色の直角三角形と色を付けた３つの台形だけを寄せ集めると、次の図のように大きな直角三角形ができます。
黄色の直角三角形（３辺の長さが、３cm、４cm、５cmのもの）と大きな直角三角形は相似で、相似比が３：１２＝１：４だから、
ＪＫ
＝５×４
＝２０cm
となり、
ＬＭ
＝４×４
＝１６cm
となります。
（３）
図の色をつけた台形３つの面積の合計は、（２）でできた大きな直角三角形から、黄色の直角三角形を引けばよいから、
１２×１６×１/２−３×４×１/２
＝９０cm2
となります。
六角形ＤＥＦＧＨＩの面積は（１）で求まっていますし、１辺の長さが５cmの正方形ＨＧＭＮの面積もすぐに求まる（５×５＝２５cm2）から、正方形ＩＯＪＤの面積と正方形ＥＫＬＦの面積を求めればいいですね。
この２つの正方形は１辺の長さが（小学生の範囲では）求まりませんが、面積を求めることはできます。
（２）の最初で述べた方針でも求めることはできますが、ここでは、三平方の定理（ピタゴラスの定理）を証明して、それを使って解いてみます。 ←灘中受験生なら大半が知っている定理でしょう。
一般に、角Ａを直角三角形ＡＢＣ（ＡＢ、ＢＣ、ＣＡの長さを○、△、□とします）について、○×○＋□×□＝△×△が成り立ちます（三平方の定理）。
これは、上の１番左の図において、赤色の正方形の面積＋青色の正方形の面積＝緑色の正方形の面積が成り立つということですね。
正方形の１辺が斜辺となっている直角三角形があるので、合同な４つの直角三角形をつけたし、大きな正方形を作り出します。
緑色の正方形の周りに、オレンジ色の直角三角形を４つ互い違いに配置し、大きな正方形を作り出します（上の真ん中の図）。
次に、オレンジ色の三角形を１番右の図のように並べ替えると、青色の正方形と赤色の正方形が現れます。
全体の面積が等しく、オレンジ色の部分の面積が等しいので、それ以外の部分の面積も等しくなります。
さて、問題を解いてみましょう。
直角三角形ＩＲＯに注目すると、正方形ＩＯＪＤの面積は
４×４＋６×６
＝５２cm2
となり、直角三角形ＦＬＴに注目すると、正方形ＥＫＬＦの面積は
３×３＋８×８
＝７３cm2
となります。
したがって、六角形ＪＫＬＭＮＯの面積は
７４＋２５＋９０＋５２＋７３
＝３１４cm2
となります。
なお、「方眼紙」で解く（大きな方眼紙のような図をかき、そこに問題の図をかきこんで、小さな正方形何個分かを考えて解きます）という方針でも解けます。 ←２００５年の算数オリンピックファイナルでこの問題と同じような問題が出されていましたが、その誘導がついていました。
東海中学校２００６年算数第８問と東海中学校２０１６年算数第８問もぜひ解いてみましょう。この問題と同様の解法で解けますよ。