灘中学校２０１９年算数２日目第１問（解答・解説）
ＡとＢがともに７の倍数という条件は、Ａと（ＡとＢの差）がともに７の倍数という条件に読み替えることができますね。 ←ヒントの１番目と２番目がこのことを示唆していますね。
Ａの千の位の数字をＰ、十の位の数字をＱ、一の位の数字をＲとすると、Ａ＝Ｐ×１０００＋Ｑ×１０＋Ｒ×１となります。 ←Ｂも同様に表せますね。
Ｐ×１０００＋Ｑ×１０＋Ｒ×１
＝Ｐ×（１００１−１）＋Ｑ×１０＋Ｒ
＝Ｐ×１００１−Ｐ＋Ｑ×１０＋Ｒ
＝Ｐ×７×１１×１３＋Ｑ×１０＋Ｒ−Ｐ ←７×１１×１３＝１００１は覚えているはずですね。もっとも、この問題の場合はヒントの３番目に同様のことが示唆されていますが・・・
が７の倍数だから、Ｑ×１０＋Ｒ−Ｐが７の倍数となります。 ←Ｑ×７＋Ｑ×３＋Ｒ−Ｐと変形して、Ｑ×３＋Ｒ−Ｐが７の倍数となる条件を考えることもできますが、却って面倒でしょう。
ＡとＢは千の位と百の位の数字が同じだから、ＡとＢの差はＡとＢの下２桁の差と一致します。
Ｑ×１０＋Ｒ×１−（Ｒ×１０＋Ｑ×１）
＝９×（Ｑ−Ｒ）
または９×（Ｒ−Ｑ）、つまりＱとＲの差の９倍となります。
ＱとＲの差の９倍が７の倍数だから、ＱとＲの差が７の倍数（０も含みます）となります。
ＱもＲも０以上９以下の整数だから、結局ＱとＲの差は０か７となります。
（あ）ＱとＲの差が０の場合、つまりＱとＲが等しいとき
００−Ｐが７の倍数となるようなＰは７ですね。 ←引けないような気がしますが、実際には千の位があるので引けますね。Ｐ＝０は駄目ですね。
１１−Ｐが７の倍数となるようなＰは４ですね。
２２−Ｐが７の倍数となるようなＰは１と８ですね。 ←最小のＰ（０以外）を求めて７をたしても１桁になるのであれば２個あり、そうでなければ１個だけですね。
以下機械的に作業を行うだけなので、表にします。最小のＰは九九の７の段を思い浮かべればすぐに見つかりますね。
００−Ｐ ０、７
１１−Ｐ ４
２２−Ｐ １、８
３３−Ｐ ５
４４−Ｐ ２、９
５５−Ｐ ６
６６−Ｐ ３
７７−Ｐ ０、７
８８−Ｐ ４
９９−Ｐ １、８
（い）ＱとＲの差が７の場合
差が７となる２整数Ｑ、Ｒの組み合わせは、０−７、１−８、２−９になります。
（あ）の場合同様機械的に作業を行います。
０７−Ｐ ０、７
７０−Ｐ ０、７
１８−Ｐ ４
８１−Ｐ ４
２９−Ｐ １、８
９２−Ｐ １、８
（あ）、（い）より、Ａは全部で２１個あります。
（参考）７、１３の倍数判定法について
ある整数が７の倍数かどうかは、その数の一の位から３桁ごとに区切り、下から符号を変えて足し合わせたものが７の倍数かどうかによります。
例えば、６桁の整数（ＰＱＲＳＴＵ）について考えてみましょう。
６桁の整数ＰＱＲＳＴＵは
ＰＱＲ×１０００＋ＳＴＵ
＝ＰＱＲ×（１００１−１）＋ＳＴＵ
＝ＰＱＲ×１００１−ＰＱＲ＋ＳＴＵ
＝ＰＱＲ×７×１１×１３＋ＳＴＵ−ＰＱＲ
となり、ＰＱＲ×７×１１×１３は７の倍数だから、ＳＴＵ−ＰＱＲが７の倍数であれば、もとの整数ＰＱＲＳＴＵも７の倍数となります。
１３の倍数についても同様であることも上の説明からわかりますね。
なお、７の倍数判定法はほかにもありますが、上の倍数判定法を含めてあまり実用的ではないので、覚える必要はないでしょう。