灘中学校２０１９年算数２日目第４問（解答・解説）
以下、長さの単位はすべてcmとし、整長方形を単に長方形と表記します。
（１）
長方形の縦、横、ＢＰ（ＳＤ）の長さをそれぞれ、〇、△、□とします。
長方形の周の長さがaだから、〇＋△＝a/２となります。
長方形ＰＢＣＲの面積と長方形ＳＱＣＤの面積の和は
□×△＋□×〇
＝（△＋〇）×□ ←分配法則の逆を利用しました。
＝a/２×□cm2・・・（☆）
となります。
これがa cm2となるから、□＝２（①の答え）となります。
また、長方形ＡＢＣＤの面積と、長方形ＡＢＣＤから長方形ＡＰＴＳを取り除いて長方形ＴＱＣＲを付け足したものがともに等しくなるから、長方形ＡＰＴＳの面積は長方形ＴＱＣＲの面積（２×２＝４cm2）と等しくなります。 ←問題文の図をよく見ながら考えればわかりますね。
ＡＰ＜ＡＳとしても一般性は失われないから、ＡＰ＝１、ＡＳ＝４（②の答え）となります。 ←正方形が除外されていることからＡＰとＡＳが等しくなることはありません。また、ＡＰとＡＳの長さが入れ替わったところで、周の長さに影響がないから、ＡＰ＜ＡＳの場合を考えればいいですね。
したがって、aにあてはあまる整数は
（１＋２＋４＋２）×２
＝１８
となります。
（２）
（☆）までは同じです。
a/２×□がa×２となる場合を考えると、□＝４となります。 ←説明文と同様に考えます。
また、長方形ＡＢＣＤの面積と、長方形ＡＢＣＤから長方形ＡＰＴＳを取り除いて長方形ＴＱＣＲを付け足したものがともに等しくなるから、長方形ＡＰＴＳの面積は長方形ＴＱＣＲの面積（４×４＝１６cm2）と等しくなります。
ＡＰ＜ＡＳとしても一般性は失われないから、ＡＰ＝１、ＡＳ＝１６またはＡＰ＝２、ＡＳ＝８となります。 ←約数のペアを書き出すだけですね。
したがって、aにあてはまる整数は
（１＋４＋１６＋４）×２
＝５０
または
（２＋４＋８＋４）×２
＝３６
となります。
（３）
（☆）までは同じです。
a/２×□がa×２＋８となる場合を考えると、□が求められないので、a×２となる場合を考えます。
このとき、□＝４となります。
また、長方形ＡＢＣＤの面積は、長方形ＡＢＣＤから長方形ＡＰＴＳを取り除いて長方形ＴＱＣＲを付け足したものより８cm2大きくなるから、長方形ＡＰＴＳの面積は長方形ＴＱＣＲの面積（４×４＝１６cm2）より８cm2大きくなり、１６＋８＝２４cm2となります。
ＡＰ＜ＡＳとしても一般性は失われないから、次のいずれかの場合になります。
ＡＰ＝１、ＡＳ＝２４
ＡＰ＝２、ＡＳ＝１２
ＡＰ＝３、ＡＳ＝８
ＡＰ＝４、ＡＳ＝６
したがって、aにあてはまる整数は次の４つになります。
（１＋４＋２４＋４）×２＝６６
（２＋４＋１２＋４）×２＝４４
（３＋４＋８＋４）×２＝３８
（４＋４＋６＋４）×２＝３６