灘中学校１９９５年算数１日目第３問（解答・解説）
道の選び方の問題には、次のような有名な問題があります。
（問題）次の図で、点Ｐから点Ｑまで遠回りしないで行く方法は、全部で何通りありますか。
この問題に対しては、下図のように、角の点までの行き方を書き込む解法があります。
ある角までの行き方は、その手前の角までの行き方の和なっています。
さて、問題を解いてみましょう。
上の図より、ＡからＢまで行くのに最短の進み方は２２１通りあることがわかります。
（別解）
Ａ、Ｂからそれぞれ同じペースで進み、中間点（図の・印）での出会い方を数えると、少し計算が楽になります。
対称性（点対称性）を考慮すると、ＡからＣへの進み方とＢからＧへの進み方、ＡからＤへの進み方とＢからＦへの進み方などはすべて同じだとわかりますね。 対称性を利用して作業を減らす！
また、例えば、Ｄ地点での出会い方は、ＡからＤまでの行き方が４通りあり、そのそれぞれに対して、ＢからＤまでの行き方が１４通りあることから、積の法則により、４×１４通りあるとわかります。他の地点での出会いも同様に考えられますね。
したがって、ＡからＢまで行くのに最短の進み方は
（１×１４＋４×１４）×２＋９×９
＝５×１４×２＋８１ ←分配法則の逆を利用しました。
＝１４×１０＋８１ ←５×２を先に計算しましょう。
＝１４０＋８１
＝２２１通り
となります。
