灘中学校１９９９年算数２日目第１問（解答・解説）
作業１と作業２は、３の倍数を５（６で割り切れないとき）か25（６で割り切れるとき）に置き換えるということですね。
１の位から続く０の個数は、１０（２×５）で割り切れる（ただし、商は整数の範囲（以下同じ））回数と一致するから、２で割り切れる回数（作業３の計算結果を素因数分解したときの素因数２の個数）と５で割り切れる回数（作業３の計算結果を素因数分解したときの素因数５の個数）のうち大きくないほうになります。
この問題で重要なのは、２で割り切れる数の個数、３で割り切れる数の個数、５で割り切れる数の個数になります。
（１）
数が少ないので、書き出してしまえばいいでしょう。
１ ２ ５ ４ ５ 25
７ ８ ５ 10 11 25
13 14 ５ 16 17 25
19 20 ５ 22 23 25
25 26 ５ 28 29 25
２では
１０＋５＋２＋１ ←２の倍数の個数＋４の倍数の個数＋８の倍数の個数＋１６の倍数の個数です。例えば、８の倍数は２の倍数、４の倍数、８の倍数のところで合わせて３回カウントしていますが、８は２で３回割り切れるのでちょうどいいですね（以下同様に考えます）。
＝１８回
割り切れ、５では
１４＋６
＝２０回
割り切れるから、１の位から０が１８個続いたあとはじめて０でない数が現れます。
（２）
ヴェン図をかくと次のようになります。
黄色の部分はすべて５に、水色の部分はすべて２５になります。
以下、[〇]を〇を超えない最大の整数を表すものとします。
（あ）素因数５の個数について
ヴェン図の黄色の部分と水色の部分とピンク色の部分と黄緑色の部分について考えることになります。
３の倍数・・・ [４００/３]＝１３３個
６の倍数・・・ [４００/６]＝６６個
５の倍数で３の倍数でないもの・・・[４００/５]−[４００/１５]＝８０−２６＝５４個 ←５の倍数から１５の倍数を除けばいいですね（以下同様に考えます）。
５×５＝２５の倍数で３の倍数でないもの・・・[４００/２５]−[４００/７５]＝１６−５＝１１個
５×５×５＝１２５の倍数で３の倍数でないもの・・・[４００/１２５]−[４００/３７５]＝３−１＝２個
５×５×５×５＝６２５の倍数で３の倍数でないもの・・・０個
だから、素因数５の個数
１３３＋６６＋５４＋１１＋２
＝２６６個
となります。
（い）素因数２の個数について
ヴェン図の灰色の部分と黄緑色の部分について考えることになります。
２の倍数で３の倍数でないもの・・・[４００/２]−[４００/６]＝２００−６６＝１３４個
２×２＝４の倍数で３の倍数でないもの・・・[４００/４]−[４００/１２]＝１００−３３＝６７個
２×２×２＝８の倍数で３の倍数でないもの・・・[４００/８]−[４００/２４]＝５０−１６＝３４個
２×２×２×２＝１６の倍数で３の倍数でないもの・・・[４００/１６]−[４００/４８]＝２５−８＝１７個
２×２×２×２×２＝３２の倍数で３の倍数でないもの・・・[４００/３２]−[４００/９６]＝１２−４＝８個
２×２×２×２×２×２＝６４の倍数で３の倍数でないもの・・・[４００/６４]−[４００/１９２]＝６−２＝４個
２×２×２×２×２×２×２＝１２８の倍数で３の倍数でないもの・・・[４００/１２８]−[４００/３８４]＝３−１＝２個
２×２×２×２×２×２×２×２＝２５６の倍数で３の倍数でないもの・・・[４００/２５６]−[４００/４００より大]＝１−０＝１個
２×２×２×２×２×２×２×２×２＝５１２の倍数で３の倍数でないもの・・・０個
だから、素因数２の個数は
１３４＋６７＋３４＋１７＋８＋４＋２＋１
＝２６７個
となります。
（あ）、（い）より、１の位から０が２６６個続いたあとはじめて０でない数が現れます。