南山中学校女子部２００５年算数第１０問（解答・解説）
（１）
５＋７＋□＋８と１＋２＋３の差は□＋１４（０＋１４＝１４以上９＋１４＝２３以下）ですね。 ←上限チェック・下限チェック！
これが１１の倍数（０も含みます（以下同様））となるのは、□＝２２−１４＝８のときですね。
（２）
３＋□＋５と１＋６＋△の差は、３＋□＋５が１＋６＋△以上のとき（３＋□＋５）−（１＋６＋△）＝□ー△＋１となり、１＋６＋△が３＋□＋５以上のとき（１＋６＋△）−（３＋□＋５）＝△−□−１となります。
（あ）□ー△＋１が１１の倍数となるとき
□ー△＋１は□＋１以下となり、９＋１＝１０以下となるから、□ー△＋１＝０、つまり△＝□＋１となります。
□を０、１、２、・・・、８とすると、△をそれぞれ１、２、３、・・・、９とすることにより、与えられた数は１１の倍数となりえますが、□を９とすると、条件を満たす△はありませんね。
したがって、この場合、□を９としたときのみ、与えられた数は１１の倍数とはなりえません。
この時点で答えの候補が９だけになり、問題の形式からこれが答えと考えられますが、論理的には、９があらゆる場合に条件を満たすことを確認しておく必要があります。
（い）△−□−１が１１の倍数となるとき
□に９を入れると、△−１０が１１の倍数となることはありえませんね。 ←□が９のとき、そもそも、１＋６＋△が３＋□＋５以上となることはないですね。
したがって、問題の条件を満たす□は９となります。
（参考）１１の倍数の判定法（もとの数が１１の倍数＝各位の数から１つおきにとった数の合計の差が１１の倍数（０も含みます））
９９、９９９９、９９９９９９、・・・のように、９が偶数個並んだ数は、１１の倍数です。また、これを１０倍した数に１１を加えた数（９９×１０＋１１＝１００１、 ９９９９×１０＋１１＝１００００１、９９９９９９×１０＋１１＝１００００００１、
・・・）も１１の倍数です。このことを利用します。
例えば、８２４７８の場合を考えてみましょう。
８２４７８
＝８×１００００＋２×１０００＋４×１００＋７×１０＋８×１
＝８×（９９９９＋１）＋２×（１００１−１）＋４×（９９＋１）＋７×（１１−１）＋８ ←分配法則を利用します。
＝８×９９９９＋２×１００１＋４×９９＋７×１１＋８−２＋４−７＋８
１１の倍数
となるから、８−２＋４−７＋８（８＋４＋８と２＋７の差ですね）の部分が１１の倍数（０も含みます）であれば、８２４７８も１１の倍数であることになります（この場合は、１１の倍数になりますね）。