南山中学校女子部１３年第５問（解答・解説）
（１）
５個入りが□袋、１２個入りが〇袋とすると、
５×□＋１２×〇＝２２
となります。
〇は２２/１２＝１．・・・以下となります。 ←上限チェック！
〇＝０が条件を満たさないことは明らかだから、〇＝１となり、
□
＝（２２−１２×１）/５
＝２
となります。
したがって、青いビーズ２を２袋、赤いビーズを１袋買えばいいですね。
（２）
５×１２＝６０個の数を並べます。 ←数を書くのは面倒なので、〇で代用しています。
５の倍数（図の右端の数）はすべて青いビーズだけで買うことができます。
それ以外の１２の倍数（図の●の数）は赤いビーズだけで買うことができ、●の下にある数はすべて青いビーズを買い足すことで買うことができます。
〇〇〇〇〇
〇〇〇〇〇
〇●〇〇〇
〇〇〇〇〇
〇〇〇●〇
〇〇〇〇〇
〇〇〇〇〇
●〇〇〇〇
〇〇〇〇〇
〇〇●〇〇
〇〇〇〇〇
〇〇〇〇〇
結局、買うことができない最大の個数の候補は４３個となります。
赤いビーズは４３/１２＝３．・・・袋以下、つまり、０、１、２、３袋のいずれかとなりますが、いずれの場合も買うことができません。
したがって、答えは４３個となります。
なお、一般に、☆と★の最大公約数が１であるとき、☆と★の組み合わせで表すことができない最大の数は、☆×★−☆−★となります（フロベニウスの硬貨交換問題）。