南山中学校女子部２０２３年第３問（解答・解説）
循環小数を分数に直す問題です。
（１）
中高の数学で習う解法が誘導としてついていますが、（参考）の知識があれば、０．１１１１１１……＝１/９とすぐにできます。
一応、誘導にお付き合いしてみると・・・
◎×１０＝１．１１１１１１……
◎ ＝０．１１１１１１……
差を考えると、
◎×９＝１
となり、◎＝１/９となります。
（２）
（参考）の知識を用いて解きます。
１．２１２１２１……
＝０．１２１２１２……×１０
＝１２/９９×１０
＝４０/３３
となります。
なお、１と２１/９９から１と７/３３とすることもできます。
（参考）
一般に、
□/９＝０．□□・・・
（例）２/９＝０．２２２・・・、１/３＝３/９＝０．３３３・・・
□○/９９＝０．□○□○・・・
（例）１３/９９＝０．１３１３・・・ ７/９９＝０７/９９＝０．０７０７・・・
□○△/９９９＝０．□○△□○△・・・
（例）１２４/９９９＝０．１２４１２４・・・ １/３７＝２７/９９９＝０２７/９９９＝０．０２７０２７・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
となります。