西大和学園中学校２００６年４科日程算数第３問（解答・解説）
６００を素因数分解すると、
６００＝６×１０×１０＝２×３×２×５×２×５＝２×２×２×３×５×５ ←「九九の逆」を利用して素早く因数分解しましょう。
となります。
４の倍数や８の倍数の長さの辺は多くても一辺しかなく、しかも、その場合、他の２辺の長さは奇数になるので、（１）と（２）の「少なくとも」というのは無意味です。
（１）
一辺の長さが８cmのとき、他の２辺の長さの積は３×５×５だから、この数の約数のペアの個数を求めればいいですね。
３×５×５の約数の個数は、３の使用個数が０個か１個の２通りあり、そのそれぞれに対して５の使用個数が０個〜２個の３通りあるから、２×３個ありますね。 ←約数の個数については神戸女学院中学部１９９５年２日目第４問の解答・解説を参照
したがって、ペアの個数は
２×３/２
＝３個
となり、これが求める個数となります。
（３）
問題の誘導では、作った直方体の総数を、一辺の長さが４の倍数であるが８の倍数でないものと一辺の長さが８の倍数であるものの和として求めさせようとしていますが、そのほうが面倒どうなので、まず（３）を解きます。
８×８×８＝５１２＜６００＜９×９×９＝７２９だから、最小の数は８以下となります。 ←上限チェック！下限チェック！
このことに着眼して書き出します。 ←ただし、大半が計算で求められます。
直方体の各辺を大きくない順に○、□、△（○≦□≦△）とします。
○＝１のとき、□×△＝６００だから、直方体の個数は６００（２×２×２×３×５×５）の約数のペアの個数となります。
その個数は
４×２×３×１/２
＝１２個
となります。
○＝２のとき、□×△＝３００だから、直方体の個数は３００（２×２×３×５×５）の約数のペアの個数から、□＝１の１個を取り除いたものになります。
その個数は
３×２×３×１/２−１
＝８個
となります。
○＝３のとき、□×△＝２００だから、直方体の個数は２００（２×２×２×５×５）の約数のペアの個数から、□＝１、２の２個を取り除いたものになります。
その個数は
４×３×１/２−２
＝４個
となります。
○＝４のとき、□×△＝１５０だから、直方体の個数は１５０（２×３×５×５）の約数のペアの個数から、□＝１、２、３の３個を取り除いたものになります。
その個数は
２×２×３×１/２−３
＝３個
となります。
○＝５のとき、□×△＝１２０だから、直方体の個数は１２０（２×２×２×３×５）の約数のペアの個数から、□＝１、２、３、４の４個を取り除いたものになります。
その個数は
４×２×２×１/２−４
＝４個
となります。
数が小さくなったので、そろそろ書き出したほうが楽になりますね。
○＝６のとき、□×△＝１００だから、□＝１０、△＝１０の１個だけですね。
○＝８のとき、□×△＝７５ですが、これを満たすものはありません。
したがって、作った直方体の総数は
１２＋８＋４＋３＋４＋１
＝３２個
となります。
（２）
直方体の辺の長さに４の倍数がない場合を考えます。
素因数２を直方体の縦、横、高さに１つずつ配する必要があります。
残りの素因数３、５、５をどのように配するかを考えます。
素因数３を縦に配すると考えても一般性は失われません。
素因数５をすべて同じ辺に配する場合は、縦、横の２通りあります。 ←高さに配する場合は、横に配する場合と同じですね。
素因数５を異なる２辺に配する場合、縦と横、横と高さの２通りあります。 ←縦と高さに配する場合は、縦と横に配する場合と同じですね。
結局、４の倍数がない場合は
２＋２
＝４個
となり、直方体の辺の長さに４の倍数がある場合は
３２−４
＝２８個
あります。
あとは、一辺の長さが８の倍数となっている場合を取り除けばいいですね。
素因数２をすべて縦に配すると考えても一般性は失われません。
残りの素因数３、５、５をどのように配するかを考えます。
素因数３を配する辺は（あ）縦、（い）横の２通りあります。 ←高さに配する場合は、横に配する場合と同じですね。
（あ）の場合
横と高さは条件的に同じですね。
素因数５をすべて同じ辺に配する場合は、縦、横の２通りあります。 ←４の倍数がないときと全く同様に考えられますね。
素因数５を異なる２辺に配する場合、縦と横、横と高さの２通りあります。
（い）の場合
横と高さは条件的に異なりますね。
素因数５をすべて同じ辺に配する場合は、縦、横、高さの３通りあります。
素因数５を異なる２辺に配する場合、どの辺に配さないかで３通りあります。
（あ）、（い）より、一辺の長さが８の倍数となっている直方体は
２＋２＋３＋３
＝１０個
あります。
したがって、一辺の長さが４の倍数であるが８の倍数でない直方体は
２８−１０
＝１８個
あります。
なお、（２）の一部が（１）となっていることに着目して、残りを調べて求めることもできますが、面倒でしょう。