西大和学園中学校２０１９年東京・東海・岡山会場算数第３問（解答・解説）
過去に東大などで同様のもの（ホームページで取り上げているものであれば、東京大学１９９６年後期理科数学第１問、神戸大学２０２０年理系数学第３問・文系数学第３問）が出されたことがある有名問題で、様々な解法が考えられます。
ここでは、（１）、（２）、（３）でそれぞれ異なる解法で解いています。
以下、３つの箱に入る球の数を多くない順にｘ、ｙ、ｚ（０≦ｘ≦ｙ≦ｚ）とします。
（１）
０≦ｘ≦ｙ≦ｚ≦７となりますね。
ｘ−ｙ−ｚというように書き出していけば規則性が見出せます。 ←この問題は数が小さいので、規則性を見出す前に解けてしまいます。
０−０−７ １−１−５ ２−２−３
１−６ ２−４
２−５ ３−３
３−４
求める分け方は全部で８通りあります。
（２）
０≦ｘ≦ｙ≦ｚ≦２２となりますね。
yを固定したときに、ｘ（、ｚ）の組み合わせが何通りあるか考えます。
ｘ ｙ
０ ０
０〜１ １
０〜２ ２
０〜３ ３
・・・・・・・・
０〜７ ７
０〜６ ８ ←ｚが８以上だから、ｘの上限が決まります（以下同様）。なお、このあたりで規則が変わることは、２２/３＝７．・・・で見当がつけられます。
０〜４ ９
０〜２ １０
０ １１
したがって、求める分け方は全部で
（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８）＋（７＋５＋３＋１）
＝３６＋１６
＝５２
となります。
（３）
０≦ｘ≦ｙ≦ｚ≦６０となりますね。
３つの箱に区別があると考えた場合の分け方は、〇を６０個、/を２個並べて、その１番左側をｘ、真ん中をｙ、右側をｚとすると考えればよいから、
（６２×６１）/（２×１） ←組合せですね。
＝１８９１通り
あります。
この１８９１通りには
（あ）３つの数が同じ場合
（い）３つの数のうち２つだけが同じ場合
（う）３つの数がすべて異なる場合
があり、（あ）の場合は１回だけカウント、（い）の場合は２回カウント、（う）の場合は３×２×１＝６回カウントされています。
実際には箱を区別しないので、すべての場合を１回だけカウントすることになります。
（あ）の場合
２０−２０−２０の１通りだけですね。
（い）の場合
０−０−６０、１−１−５８、２−２−５６、・・・、２９−２９−２、３０−３０−０（２０−２０−２０は除外）の３０通りあります。
箱を区別する場合、ｘ＝ｙ、ｙ＝ｚ、ｚ＝ｘの場合がカウントされ、３０×３＝９０通りとしてカウントされています。
（う）の場合
箱を区別する場合、１８９１−（１＋９０）＝１８００通りとしてカウントされているので、本問では１８００/６＝３００通りとしてカウントすることになります。
したがって、求める分け方は全部で
１＋３０＋３００
＝３３１通り
あります。