西大和学園中学校２０２４年東京・東海会場算数第２問（解答・解説）
（１）（２）
各位に〇（１のことです）を配ると考えます。
１桁・・・１個あります。
２桁・・・まず、各位に〇を１個ずつ配り、その後、残りの〇６個を各位に配ります。〇６個と/１個を並べると考えると、７個あることがわかります。 ←例えば、●〇/●〇〇〇〇〇（●初めに配置したもの）であれば、２６となります。
３桁・・・まず、各位に〇を１個ずつ配り、その後、残りの〇５個を各位に配ります。〇５個と/２個を並べると考えると、（７×６）/（２×１）＝２１個あることがわかります。 ←例えば、●〇〇/●〇〇〇/●であれば、３４１となります。
４桁・・・まず、各位に〇を１個ずつ配り、その後、残りの〇４個を各位に配ります。〇４個と/３個を並べると考えると、（７×６×５）/（３×２×１）＝３５個あることがわかります。
１桁の場合に「まず、一の位に〇を１個配り、その後、残りの〇７個を一の位に配ります。〇７個と/０個を並べると考える」とすることができますね。
桁が増えるごとに〇が１個減り、/が１個増えるので、５桁以降は、〇３個と/４個、〇２個と/５個、〇１個と/６個、〇０個と/７個となることが分かりますね。
〇の個数と/の個数が入れ替わっても場合の数は同じなので、（２）の答えは
（１＋７＋２１＋３５）×２
＝１２８個
となります。
なお、（１）の答えは１＋７＋２１＝２９個となります。
（３）
４桁の数の各位に〇８個を配ると考えます。
〇８個と/３個を並べると考えると、（３）の答えは
（１１×１０×９）/（３×２×１）
＝１６５個
となります。
（４）
（前半について）
２０２４が＃の何番目に現れるか求める問題です。
＃の中に現れる２０２４以下の数の個数を求めればいいですね。
０□□□（３桁以下の整数）・・・百の位、十の位、一の位の各位に〇８個を配ります。〇８個と/２個を並べると考えると、（１０×９）/（２×１）＝４５個あることがわかります。
１□□□・・・百の位、十の位、一の位の各位に〇７個を配ります。〇７個と/２個を並べると考えると、（９×８）/（２×１）＝３６個あることがわかります。
２□□□・・・２０□□を考えればよく、下２桁は０６、１５、２４となり、３個あることがわかります。
したがって、[あ]に入る数は４５＋３６＋３＝８４となります。
（後半について）
＃の２８８番目の数を求める問題です。
４桁以下の数は、（３）より１６５個あります。
５桁について考えます。
１□□□□・・・千の位、百の位、十の位、一の位の各位に〇７個を配ります。〇７個と/３個を並べると考えると、（１０×９×８）/（３×２×１）＝１２０個あることがわかります。
あと２８８−１６５−１２０＝３個だから、書き出せばいいですね。
２□□□□・・・２００□□を考えればよく、下２桁は先ほどと同様０６、１５、２４となります。
したがって、[い]に入る数は２００２４となります。
（５）、（６）
♭の中の２０２４以下の数の個数を求めることになります。
ちょうど２個の数が何になるかと桁数が何桁となるかで分類します。
（あ）０がちょうど２個の場合
１桁・・・×
２桁・・・×
３桁・・・０、０以外の残りの数は８となり、８００の１個だけですね。
４桁・・・０、０以外の残りの２数は（１，７）、（２，６）、（３，５）、（４，４）となりますが、（３，５）と（４，４）の場合はありません。（１，７）の場合は、１□□□の下３桁に０、０、７を並べることになりますが、３個あります。（２，６）の場合は、２□□□の下３桁に０、０、６を並べることになりますが、２００６の１個だけあります。
この場合は、１＋３＋１＝５個あります。
（い）１がちょうど２個の場合
１桁・・・×
２桁・・・×
３桁・・・１、１以外の残りの数は６となり、６がどの位になるかで３個ありますね。
４桁・・・１、１以外の残りの２数は（０，６）、（２，４）、（３，３）となります。（０，６）の場合は、１□□□の下３桁に１、０、６を並べることになりますが、３×２×１＝６個あります。（２，４）の場合は、１□□□の下３桁に１、２、４を並べる場合が、３×２×１＝６個ありますが、２□□□の下３桁に１、１、６を並べる場合はありません。（３，３）の場合は、１□□□の下３桁に１、３、３を並べることになりますが、３個あります。
この場合は、３＋６＋６＋３＝１８個あり、これが（５）の答えとなります。
（う）２がちょうど２個の場合
１桁・・・×
２桁・・・×
３桁・・・２、２以外の残りの数は４となり、４がどの位になるかで３個ありますね。
４桁・・・２、２以外の残りの２数は（０，４）、（１，３）となります。（０，４）の場合は、２０２４の１個だけあります。（１，３）の場合は、１□□□の下３桁に１、３、３を並べることになりますが、３個あります。br>
この場合は、３＋１＋３＝７個あります。
（え）３がちょうど２個の場合
１桁・・・×
２桁・・・×
３桁・・・３、３以外の残りの数は２となり、２がどの位になるかで３個ありますね。
４桁・・・３、３以外の残りの２数は（０，２）、（１，１）となりますが、（０，２）の場合はありません。また、（１，１）の場合は、１がちょうど２個ある場合でカウント済みですね。 ←問題文の例にある３３１１がミスを防ぐためのヒントになっていますね。
この場合は、３個あります。
（お）４がちょうど２個の場合
１桁・・・×
２桁・・・４４の１個あります。
３桁・・・４、４以外の残りの数は０となり、０がどの位になるかで２個ありますね。
４桁・・・４、４以外の残りの２数は（０，０）となりますが、０がちょうど２個ある場合で検討済みですね。
この場合は、１＋２＝３個あります。
（あ）〜（お）より
５＋１８＋７＋３＋３
＝３６
が（６）の答えとなります。