桜蔭中学校２００９算数年第４問（解答・解説）
縦に並べると、規則性がわかりやすいでしょう。
１枚目 １ ２ ３ ４
２枚目 ５ ６ ７ ８
３枚目 ９ １０ １１ １２
４枚目 １３ １４ １５ １６
５枚目 １７ １８ １９ ２０
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（１）
１＋２＝３
↓＋８
５＋６＝１１
↓＋８
９＋１０＝１９
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１枚のカードの上段の２つの数の和は、初項（最初の数）が１＋２＝３、公差が４＋４＝８の等差数列になっていますね。
１２０÷８＝１５で見当をつけます。 ←大雑把（おおざっぱ）に見当をつけることが大切です。
３＋８×１４＜１２０
３＋８×１５＞１２０
だから、１枚のカードの上段の２つの数の和が、初めて１２０より大きくなるのは１６枚目のカードになります。
（２）
１枚目の数字１と重なっている５０個目の数は
４×５０−３ ←５０枚目のカードの１番大きい数（５０番目の４の倍数ですね）より３小さいですね。もちろん、１＋４×（５０−１）としてもいいでしょう。
＝１９７
となります。
求める和は
（１＋１９７）×５０×１/２
＝９９×５０
＝４９５０
となります。
（３）
（１）同様、縦に並べます。
回転するというハッタリに惑わされないようにしましょう。
問題文にある５枚目までのカードについて考えれば、問題の５０個の数が図の青色のようになることはすぐにわかりますね。
１枚目 １ ２ ３ ４ 同じ
２枚目 ５ ６ ７ ８ １小さい
３枚目 ９ １０ １１ １２ ２小さい
４枚目 １３ １４ １５ １６ １大きい
５枚目 １７ １８ １９ ２０ 同じ
６枚目 ２１ ２２ ２３ ２４ １小さい
７枚目 ２５ ２６ ２７ ２８ ２小さい
８枚目 ２９ ３０ ３１ ３２ １大きい
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青色の数４個を１セットとして考えて、等差数列の和と最後の半端２個の和に持ち込んで解くこともできますが、少し面倒そうなので、回転しない場合との違いを考えて解きます。
回転しない場合に３と重なる５０個の数の和は
４９５０＋２×５０ ←桜蔭がつけてくれている親切な誘導である（２）を利用しました。１と重なる数と３と重なる数とでは、１枚あたり２違いますね。このことは、縦に並べた数（１の列と３の列）を見れば明らかですね。
＝５０５０
となります。
１からの連続する１６個の整数ごとにグループを分けていきます。
５０÷４＝１２・・・２
より、グループは１２個でき、半端が２個できます。
問題のように回転した場合、回転しない場合に比べて、１グループにつき２小さくなり、最後の半端２個で１小さくなります。 ←「同じ、１小さい、２小さい、１大きい」が１グループだからです。
したがって、求める和は
５０５０−２×１２−１
＝５０２５
となります。