桜蔭中学校２０１５年算数第２問（解答・解説）
まず、正三角形の１辺の長さについて考えます。
問題文からもわかるように、①～⑤までは特殊なので、⑥以降について規則性を考えます。
以下、⑥の１辺の長さを⑥などというように表記します。
図２をよく観察すると、⑥＝⑤＋①、⑦＝⑥＋②、⑧＝⑦＋③、・・・となっていることがわかります。 ←小さな例で試して規則性を把握することが大切です。
結局、ある正三角形の１辺の長さは１つ前の正三角形の長さ＋５つ前の正三角形の長さになっているので、あとは、機械的に長さを求めるだけですね。
①１ ②１ ③１ ④２
⑤２ ⑥３ ⑦４ ⑧５
⑨７ ⑩９ ⑪１２⑫１６
⑬２１⑭２８⑮３７⑯４９
⑰６５⑱８６ ←４個ずつで折り返したのは、目の移動距離を短くして作業ミスを防ぐためです。
（１）
問題文にある図をよく観察すると、④を置いたときの周りの長さ＝①～⑤の和、⑤を置いたときの周りの長さ＝②～⑥の和、⑥を置いたときの周りの長さ＝③～⑦の和となっていることがわかります。
これを表のように整理すると、次のようになります。
④を置いたときの周りの長さ＝①～⑤の和
⑤を置いたときの周りの長さ＝②～⑥の和
⑥を置いたときの周りの長さ＝③～⑦の和
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
⑰を置いたときの周りの長さ＝⑭～⑱の和
したがって、求める長さは
２８＋３７＋４９＋６５＋８６
＝２６５cm
となります。
（２）
問題文にある図をよく観察すると、④の正三角形を置いたときにできる図形の面積は⑤の面積－③の面積－①の面積、⑤の正三角形を置いたときにできる図形の面積は⑦の面積－④の面積－②の面積、・・・となっていることがわかります。 ←下の図を参照。
これを表のように整理すると、次のようになります。
④を置いたとき ⑥－③－①
⑤を置いたとき ⑦－④－②
⑥を置いたとき ⑧－⑤－③
・・・・・・・・・・・・・
⑮を置いたとき ⑰－⑭－⑫
正三角形はすべて相似で、相似な図形の面積比は相似比×相似比になるから、求める面積比は
６５×６５－２８×２８－１６×１６
＝３１８５倍
となります。
なお、入試本番ですぐにいい解法が思い浮かばなければ、
１×１＋１×１＋１×１＋２×２＋２×２＋３×３＋４×４＋５×５＋７×７＋９×９＋１２×１２＋１６×１６＋２１×２１＋２８×２８＋３７×３７
＝３１８５倍
とすれば、はやく解けたでしょう。
