桜蔭中学校２０１６年算数第３問（解答・解説）
回転体の体積は回転軸に平行にスライドさせても変わらないという当たり前のことを利用して解きます。
体積に関しては次のようになっていますね。
１番目 正方形４個 半径２×２cm、高さ４cmの円柱
２番目 正方形６個 半径２×３cm、高さ４cmの円柱
３番目 正方形８個 半径２×４cm、高さ４cmの円柱
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□番目 正方形４＋２×（□−１）＝２×（□＋１）個 半径２×（□＋１）cm、高さ４cmの円柱
（１）
求める体積は
（２×３）×（２×３）×３．１４×４
＝１４４×３．１４
＝３１４
１２５．６
＋ １２．５６
４５２．１６cm3
となります。
半径６cmの円柱の底面積・上下（図のピンク色の部分）、半径２cm、高さ４cmの円柱の側面積（図の赤色の部分）、半径４cm、高さ４cmの円柱の側面積（図の水色の部分）、半径６cm、高さ４cmの円柱の側面積（図のオレンジ色の部分）の合計が求める表面積になります。
求める表面積は
６×６×３．１４×２＋２×２×３．１４×４＋４×２×３．１４×４＋６×２×３．１４×４ ←側面積の部分に関しては、相似を利用して、２×２×３．１４×４×（１＋２＋３）/１としてもよいでしょう。
＝３．１４×（７２＋１６＋３２＋４８）
＝３．１４×１６８
＝３１４
１８８．４
＋ ２５．１２
５２７．５２cm2
となります。
（２）
□番目の体積が１１３０４cm3になるとすると、２×（□＋１）×２×（□＋１）×３．１４×４＝１１３０４となるから、
｛２×（□＋１）｝×｛２×（□＋１）｝
＝１１３０４/（３．１４×４）
＝２８２６/３．１４ ←３．１４×９＝２８．２６を覚えていればすぐに約分できますね。
＝９００
＝３０×３０
となり、２×（□＋１）は３０となります。
したがって、求める正方形の個数は３０個になります。
（追加設問）
立体の表面積が５２７５．２cm2となるとき、もとの図形の正方形の個数を求めなさい。
（解説）
□番目の表面積は
２×（□＋１）×２×（□＋１）×３．１４×２＋２×２×３．１４×４×｛１＋２＋３＋・・・＋□＋（□＋１）｝/１ ←側面積の部分に関しては、相似を利用しました。
＝ ２×（□＋１）×２×（□＋１）×３．１４×２＋２×２×３．１４×４×｛１＋（□＋１）｝×（□＋１）×１/２ ←等差数列の和の公式を利用しました。
＝８×（□＋１）×３．１４×｛（□＋１）＋（□＋２）｝
＝８×３．１４×（□＋１）×（□×２＋３） ←分配法則の逆を利用しました。
となります。
８×３．１４×（□＋１）×（□×２＋３）＝５２７５．２
（□＋１）×（□×２＋３）＝５２７５．２/（８×３．１４）＝６５９．４/３．１４＝２１０
２１０の約数のペアで大体１：２になるものを探せばいいですね。 ←□×２＋３が□＋１の２倍に近いからです。
２１０/２＝１０５あたりの平方数で見当をつけると、□＝９がすぐに見つかりますね。
したがって、求める正方形の個数は
２×（９＋１）
＝２０個
となります。
