桜蔭中学校２０２０年算数第４問（解答・解説）
１０ｇ、２０ｇ、６０ｇの球に書かれた整数をそれぞれ次のようになります。
１０ｇ・・・４、８、・・・、１００
２０ｇ・・・１、４、・・・、１００
６０ｇ・・・４、１６、・・・、１００ ←最小のものが４で、以後１２（３と４の最小公倍数）ずつ増えていきます。ＡとＢの両方の条件を満たす数だから、ＡにもＢにも含まれる１００が含まれることは自明ですね。
（１）
分母と分子が５で約分できるということは、どちらも５の倍数であったことになります。
分子・・・１０、２５、４０、５５、７０、８５、１００ ←最小のものが１０で、以後１５（３と５の最小公倍数）ずつ増えていきます。まず５の倍数について考えれば最小のものが１０であることはすぐにわかりますね。
分母・・・４０、１００ ←最小のものが４０で、以後６０（３と４と５の最小公倍数）ずつ増えていきますね。まず、４と５の倍数、つまり２０の倍数の条件を考え、そのうち３で割ると１余る数という条件を考えれば、最小のものが４０であることはすぐにわかりますね。
１未満の分数であるから、求める合計は
（１０＋２５）/４０＋（１０＋２５＋４０＋５５＋７０＋８５）/１００
＝３５/４０＋９５×３/１００ ←分母が１００のものについては、分子を両端から２個ずつ組み合わせていけばよいでしょう（倍数の対称性の利用）。
＝０．８７５＋２．８５
＝３．７２５
となります。
（２）
①
桜蔭頻出の不定方程式（条件不足のつるかめ算）の問題です。
１０ｇ、２０ｇ、６０ｇの球の個数をそれぞれ□、△、〇とします。
個数の条件から、□＋△＋〇＝１３となります。
重さが全部１/１０になったと考えると、重さの条件から、□＋２×△＋６×〇＝２５となります。
２つの式の差を考えると、△＋５×〇＝１２となります。
５×〇が５の倍数（０も含みます）で、１２が５で割ると２余る数だから、△は５で割ると２余る数となり、（△,〇）＝（２，２）、（７，１）、（１２，０）となります。
したがって、（□,△,〇）＝（９，２，２）、（５，７，１）、（１，１２，０）となります（解答欄に書く答えは省略）。
②
１０ｇが５個、２０ｇが７個、６０ｇが１個
１０ｇのものと６０ｇのものに書かれた数はすべて４で割り切れる数だから、何を選んでもいいので、大きな数を選びます。
１０ｇ・・・１００、９６、９２、８８、８４（合計は９２×５＝４６０）
６０ｇ・・・１００
２０ｇのものに書かれた整数を４で割ったときの余りを大きいほうから書き出すと、次のようになります。
２０ｇ・・・０、１、２、３、０、１、２、３、・・・ ←数が３減ると、４で割った余りも３減ることになりますが、減らせないときは、１足すと考えます。ある数から３を引いた数とある数に１を足した数の差は４だから、４で割ったときの余りが等しくなるからです。
０＋１＋２＋３＋０＋１＋２は４で割ると１余り、余りが１足りません。
そこで、最後の２を次の３にすればいいですね。
もとの数に戻すと次のようになります。
２０ｇ・・・１００、９７、９４、９１、８８、８５、７９（合計は、７９が８２の場合の和をいったん考えた後調整すると考えて、９１×７－３＝６３４） ←１００から３ずつ減らしていきますが、７個目だけは６減らします。
したがって、求める数の合計は
４６０＋１００＋６３４
＝１１９４
となります。