桜蔭中学校１９９６年算数第３問（解答・解説）
ＰとＱ、ＲとＳはそれぞれ同じ動き方をするので、ＰとＳだけ考えればいいですね。 ←４つの点が動くことに惑わされないように注意しましょう。
（１）
Ｐは
４８÷１
＝４８秒毎
にＯに戻り、Ｓは
４８÷２
＝２４秒毎
にＯに戻るので、同時にＯに戻るのは、４８（４８と２４の最小公倍数）毎になります。
したがって、４点が初めて同時にＯに戻るのは４８秒後となります。
なお、４点が動く方向は関係ないことに注意しましょう。
このことは、（２）で利用します。
（２）
①
Ｐと同じ速さでＯＤ上を動くＰ’を考えます。 ←架空の点（「影」）を考えます。
四角形ＰＱＲＳがはじめて正方形になるのは、右図のように、Ｐ’とＳがあわせて４８cm進んだときだから、
４８÷（１＋２）
＝１６秒後
となります。
②
以後、１６秒毎にＰ’とＳは同じ地点に来ます（出会います）。
また、ＳはＰ’に
４８÷（２－１）
＝４８秒毎
に追いつきます。
ただ、４８秒毎にＰ’とＳはＯに来るので、このとき、正方形ＰＱＲＳができません（４点がすべて重なりますね）。
したがって、四角形ＰＱＲＳが正方形になるのは、１６の倍数（ただし、４８の倍数を除く）秒毎だから、出発してから１時間後までに
６０×６０÷１６－６０×６０÷４８ ←４８秒を１セットとし、１セットに２回正方形ＰＱＲＳができると考えて、２×（６０×６０÷４８）としてもいいでしょう。
＝２２５－７５
＝１５０回
あります。