大阪星光学院中学校2000年算数第3問(解答・解説)
問題文(「1列目には1個、2列目には2個、3列目には3個、……、10列目には10個、……と、奇数を小さいものから順に並べます。」の部分)に規則性が書いてあるので、楽ですね。
上のような表を作って対応させるとわかりやすいでしょう。
赤紫色で囲んだ数字の対応に注目しましょう。
赤丸をつけた数は、三角数ですね。
(1)
10列目の1番下の奇数は、1番目の奇数(1)から数えて、
1+2+3+・・・+9+1
=45+1 ←1+2+3+・・・+10=55を利用しました。等差数列の和の公式を使ってもいいでしょう。
=46
番目の奇数となるから、
46×2−1
=91
となります。
(参考)
1×2、2×2、3×2、4×2、5×2、6×2、・・・
一般に、○番目の偶数は
○×2
となります。
1、2 / 3、4 / 5、6 / 7、8 / 9、10 / ・・・ ←奇数と偶数をペアにして考えると、○番目の奇数は、○番目の偶数の1つ前にあることがわかりますね。
また、○番目の奇数は
○×2−1
となります。
(2)
(1)と同じ問題ですね。
20列目の下から10番目の奇数は、1番目の奇数(1)から数えて、
1+2+3+・・・+19+10
=(1+19)×19×1/2+10 ←等差数列の和の公式を利用しました。
=190+10
=200
番目の奇数となるから、
200×2−1
=399
となります。
(3)
(1)、(2)の逆の問題ですね。
501は、1番目の奇数(1)から数えて、
(501+1)÷2
=251
番目の奇数ですね。
1からの連続する自然数(1以上の整数)の和で251に近いものを見つければいいですね。
(2)の190(1から19までの自然数の和)とあまり変わらないので、順に数字をたしていけばいいでしょう。
190+20+21+22
↑ ↑
231 253
251−231
=20
したがって、501は22列目の下から20番目の奇数となります。
なお、(2)のヒントがなければ、次のようにして見当をつけることになります。
1+2+・・・+□
=(1+□)×□×1/2 ←等差数列の和の公式を利用しました。
が251に近い数(三角数)になるので、
251×2
に近い(ただし、251×2を超えない)平方数(□×□)を探すことになります。 ←(1+□)×□で考えると面倒なので、それとあまり変わらない□×□で考えます。