大阪星光学院中学校2000年算数第3問(解答・解説)


問題文(「1列目には1個、2列目には2個、3列目には3個、……、10列目には10個、……と、奇数を小さいものから順に並べます。」の部分)に規則性が書いてあるので、楽ですね。
大阪星光学院中学校2000年算数第3問(解答・解説)の図1

上のような表を作って対応させるとわかりやすいでしょう。
赤紫色で囲んだ数字の対応に注目しましょう。
大阪星光学院中学校2000年算数第3問(解答・解説)の図2

赤丸をつけた数は、三角数ですね。

(1)
10列目の1番下の奇数は、1番目の奇数(1)から数えて、
  1+2+3+・・・+9+1
 =45+1 ←1+2+3+・・・+10=55を利用しました。等差数列の和の公式を使ってもいいでしょう。
 =46
番目の奇数となるから、
  46×2−1
 =91
となります。
(参考)
 1×2、2×2、3×2、4×2、5×2、6×2、・・・
一般に、○番目の偶数は
  ○×2
となります。
 1、2 / 3、4 / 5、6 / 7、8 / 9、10 / ・・・ ←奇数と偶数をペアにして考えると、○番目の奇数は、○番目の偶数の1つ前にあることがわかりますね。
また、○番目の奇数は
  ○×2−1
となります。

(2)
(1)と同じ問題ですね。
20列目の下から10番目の奇数は、1番目の奇数(1)から数えて、
  1+2+3+・・・+19+10
 =(1+19)×19×1/2+10 ←等差数列の和の公式を利用しました。
 =190+10
 =200
番目の奇数となるから、
  200×2−1
 =399
となります。

(3)
(1)、(2)の逆の問題ですね。
501は、1番目の奇数(1)から数えて、
  (501+1)÷2
 =251
番目の奇数ですね。
1からの連続する自然数(1以上の整数)の和で251に近いものを見つければいいですね。
(2)の190(1から19までの自然数の和)とあまり変わらないので、順に数字をたしていけばいいでしょう。
  190+20+21+22
            ↑  ↑
           231 253
  251−231
 =20
したがって、501は22列目の下から20番目の奇数となります。
なお、(2)のヒントがなければ、次のようにして見当をつけることになります。
  1+2+・・・+□
 =(1+□)×□×1/2 ←等差数列の和の公式を利用しました。
が251に近い数(三角数)になるので、
  251×2
に近い(ただし、251×2を超えない)平方数(□×□)を探すことになります。 ←(1+□)×□で考えると面倒なので、それとあまり変わらない□×□で考えます。



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