大阪星光学院中学校２０１５年算数第５問（解答・解説）
（２）の（前半）
１００１＝７×１１×１３で、４桁の１３の倍数でこれより小さいものはないから、答えは１００１となります。 ←１００１＝７×１１×１３は難関中学校の入試でよく出題されているので、覚えておきましょう。
（１）
１００１×２＝２００２は１３の倍数で、これに１３をたした２０１５も１３の倍数となります。 ←一の位を５になるように１３をたしました。ただ、この年の受験生であれば、２０１５が１３の倍数となることは事前にわかっていたはずですね。
２０１５に１３の倍数で一の位のものが０のもの、つまり１３０の倍数をたしていけばいいですね。
１３０を７個（９１０）までたせるので、答えは
７＋１
＝８個
となります。
（２）の（後半）
６桁の整数を２Ａ０１Ｂ５とします。
２Ａ０１Ｂ５
＝２Ａ０×１０００＋１Ｂ５
＝２Ａ０×（１００１−１）＋１Ｂ５ ←この変形については、（参考１）を参照
＝２Ａ０×１００１−２Ａ０＋１Ｂ５
となります。
２Ａ０×１００１は１３の倍数だから、１Ｂ５と２Ａ０の差、つまり２Ａ０−１Ｂ５＝１Ａ０−Ｂ５が１３の倍数となるものが条件を満たすことになります。 ←２Ａ０のほうが１Ｂ５より大きいことに注意しましょう。
あとは、Ｂ＝０〜９を調べつくしてＢ５を１３で割った余りと１Ａ０を１３で割った余りが等しくなるものを数えるだけです。
その際、１Ａ０もＢ５も５の倍数で、それぞれの一の位が０、５であることに注目すると、Ｂ５に６５、６５＋１３０をたして１Ａ０になるものを考えればよいことがわかりますね。
Ｂ５ １Ａ０
０５ ７０× ７０＋１３０＝２００× ←この時点で１Ａ０に１３０をたしても駄目だとわかりましたね。
１５ ８０×
２５ ９０×
３５ １００○
４５ １１０○
・・・・・・・
９５ １６０ ○
したがって、答えは７個となります。 ←Ａ＝０〜６の場合ですね。
（参考１）
１００１の倍数判定法〜一の位から３桁ごとに数を区切って、右から奇数番目の総和と偶数番目の総和の差が１００１の倍数（０も含みます）となれば、もとの整数は１００１の倍数となります。 ←１００１＝７×１１×１３だから、これは７の倍数の判定法、１１の倍数の判定法、１３の倍数の判定法でもあります。ただし、１１の倍数の判定法は、通常別の方法を使います。
例えば、２３６６０６４８の場合を考えてみましょう。
２３×１００００００＋６６０×１０００＋６４８×１
＝２３×（９９９９９９＋１）＋６６０×（１００１−１）＋６４８ ←１００１と９９９９９９＝１００１×９９９を作り出しました。
＝２３×｛１００１×９９９＋１｝＋６６０×（１００１−１）＋６４８
＝２３×１００１×９９９＋２３×１＋６６０×１００１−６６０×１＋６４８ ←分配法則を利用しました。
＝１００１×（２３×９９９＋６６０）＋２３−６６０＋６４８ ←分配法則の逆を利用しました。
だから、２３−６６０＋６４８（この計算は小学生の範囲外ですが、２３＋６４８−６６０とすれば小学生の範囲で計算できますね）の部分が１００１の倍数（０も含みます）であれば、２３６６０６４８も１００１の倍数となります。
この例の場合、２３＋６４８−６６０＝１１となるので、３６６０６５７は１００１の倍数となりませんね。
次に、１２６７３６６１の場合を考えてみましょう。
１２×１００００００＋６７３×１０００＋６６１×１
＝１２×（９９９９９９＋１）＋６７３×（１００１−１）＋６６１ ←１００１と９９９９９９＝１００１×９９９を作り出しました。
＝１２×｛１００１×９９９＋１｝＋６７３×（１００１−１）＋６６１
＝１２×１００１×９９９＋１２×１＋６７３×１００１−６７３×１＋６６１ ←分配法則を利用しました。
＝１００１×（１２×９９９＋６７３）＋１２−６７３＋６６１ ←分配法則の逆を利用しました。
だから、１２−６７３＋６６１の部分が１００１の倍数（０も含みます）であれば、１２６７３６６１も１００１の倍数となります。
この例の場合、１２−６７３＋６６１（＝１２＋６６１−６７３）＝０となるので、１２６７３６６１は１００１の倍数となりますね。
（参考２）
９９９の倍数判定法〜一の位から３桁ごとに区切った数の和が９９９の倍数となれば、もとの整数は９９９の倍数となります。 ←９９９＝３×３×３×３７だから、これは３、９、２７の倍数の判定法、３７の倍数の判定法などでもあります。ただし、３、９の倍数の判定法は、通常別の方法を使います。
例えば、１４２８５７の場合を考えてみましょう。
１４２８５７
＝１４２×１０００＋８５７
＝１４２×（９９９＋１）＋８５７ ←９９９を作り出します。９の倍数判定法のときも同様の変形をしたはずですね。
＝１４２×９９９＋１４２＋８５７ ←分配法則を利用しました。
が９９９の倍数となるためには、１４２＋８５７が９９９の倍数となればいいですが、１４２＋８５７が９９９の倍数であれば、１４２８５７も９９９の倍数となります。
この例の場合、１４２＋８５７＝９９９となるので、１４２８５７は９９９の倍数となりますね。
なお、９９の倍数判定法は、一の位から２桁ごとに区切った数の和が９９の倍数かどうかになり、９９９９の倍数判定法は、一の位から４桁ごとに区切った数の和が９９９９の倍数かどうかになります。