大阪星光学院中学校２０１９年算数第２問（解答・解説）
問題文に規則が書いてあるので、規則性の読み取りについては問題ないですね。
（１）
分母が１ずつ減り、分子が１ずつ増えるから、その差は１＋１＝２ずつ縮まります。
分母と分子が等しくなる、すなわち、最初２０１９−１＝２０１８だった差がなくなるのは
２０１８÷２ ←旅人算の追いつきですね。
＝１００９
番後、つまり、１００９＋１＝１０１０番目になります。
（２）
（１）と同様にして解きます。
分母が１ずつ減り、分子が２ずつ増えるから、その差は１＋２＝３ずつ縮まります。
２０１８÷３
＝６７２．・・・
だから、６７２＋１＝６７３番後、つまり、６７３＋１＝６７４番目にはじめて１より大きくなります。
（３）
２０１８を素因数分解すると、２×１００９となるから、２０１８の約数は１、２、１００９、２０１８となります。
分子が□ずつ増えるとすると、分母と分子の差は□＋１ずつ縮まります。
これをいくつか集めたものが２０１８の約数（ただし１より大きい整数）となればよいから、□＋１は２、１００９、２０１８のいずれかとなり、□＝１、１００８、２０１７となります。
したがって、問題の数列の中で、約分して１になる数が出てくるのは、分子を１ずつ増やしたとき以外は、１００８ずつ増やしたときと、２０１７ずつ増やしたときだけになります。