大谷中学校２０００年２次算数第４問（解答・解説）
（１）
０．７７７７７・・・
＝０．１１１１１・・・×７
＝１/９×７
＝７/９
となります。
（２）
０．００１１１１１・・・
＝０．１１１１１・・・×１/１００
＝１/９×１/１００
＝１/９００
となります。
（３）
０．１３３３３３・・・
＝０．３３３３３・・・－０．２
＝０．１１１１１・・・×３－１/５
＝１/９×３－１/５
＝１/３－１/５
＝５/１５－３/１５
＝２/１５
となります。
（参考）
①＝０．１１１・・・とすると、⑩＝１．１１・・・となり、これらの差を考えると、⑨＝１となります。 ←小数部分がうまく消えますね。
したがって、０．１１１・・・＝１×①/⑨＝１/９となり、一般に、Ａ/９＝０．１１１・・・×Ａ＝０．ＡＡＡ・・・（Ａは１桁の整数）となります。
[１]＝０．０１０１０１・・・とすると、[１００]＝１．０１０１・・・となり、これらの差を考えると、[９９]＝１となります。
したがって、０．０１０１０１・・・＝１×[１]/[９９]＝１/９９となり、一般に、ＡＢ/９９＝０．０１０１０１・・・×ＡＢ＝０．ＡＢＡＢＡＢ・・・（ＡＢは２桁以下の整数、１桁の整数については、例えば５＝０５と考えます）となります。
ＡＢＣ/９９９＝０．ＡＢＣＡＢＣ・・・となることなども同様に説明できます。