洛南高校附属中学校２０１１年算数第５問（解答・解説）
和は１＋２＝３以上２０＋１９＝３９以下となります。 ←上限チェック！下限チェック！
また、条件の対等性により、和が△の場合の数と和が４２−△の場合の数は等しくなります。 ←わかりにくければ具体例を考えるとよいでしょう。例えば、和が３の場合の数と和が４２−３＝３９の場合の数が等しくなり、和が６の場合の数と和が４２−６＝３６の場合の数が等しくなります。
取り出し方が最も多くなるのは、和が（３＋３９）/２＝２１となる場合となります。 ←最小の数１も最大の数２０も使えるのだから、取り出し方が多くなることはすぐにわかりますね。
それぞれの和の組み合わせを書き出すと、次のようになります。 ←実際にはすべてを書き出す必要はありません。例えば、和が２０の場合であれば、１−１９の後は、２数が最も接近する場合を考える（この例であれば、１０−１０は条件を満たさないから、９−１１となります）だけです。
取り出す順番を考慮すると、場合の数は、下に書き出したものの２倍考えられます。
和
３ １−２
４ １−３
５ １−４、２−３
６ １−５、２−４
７ １−６、２−５、３−４
８ １−７、２−６、３−５
９ １−８、２−７、３−６、４−５
１０ １−９、２−８、３−７、４−６
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２０ １−１９、２−１８、・・・、９−１１
２１ １−２０、２−１９、・・・、９−１２、１０−１１
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（１）
和が１０になる取り出し方は全部で４×２＝８通りあります。
（２）
和が３０になる取り出し方は、和が４２−３０＝１２となる取り出し方に等しく、５×２＝１０通りあります。
（３）
取り出し方が最も多いのは、和が２１のときで、その取り出し方は１０×２＝２０通りあります。
（４）
全部の取り出し方は
２０×１９
＝３８０通り
あり、和が３以上１０以下の取り出し方と和が４２−１０＝３２以上４２−３＝３９以下の取り出し方はともに
（１＋１＋２＋２＋３＋３＋４＋４）×２
＝４０通り
あるから、和が１１以上３１以下になる取り出し方は全部で
３８０−４０×２
＝３００通り
あります。