洛南高校附属中学校２０１３年算数第４問（解答・解説）
（２）のほうが明らかに簡単なので、（２）から解きます。
（２）
数列の各位には、０、１、２、３、４の５種類の数字だけが使われているので、５進法の問題です。
①
５進法の２２２を１０進法になおす問題ですね。
したがって、２２２は
２×５×５＋２×５＋２×１
＝６２番目
になります。
（別解）
場合の数の問題として処理します。
０□□（２桁以下（０は除外））・・・５×５－１＝２４個 ←<デジタル表示を利用しました。
１□□・・・５×５＝２５個
２０□・・・５個
２１□・・・５個
２２０、２２１、２２２・・・３個
したがって、２２２は
２４＋２５＋５＋５＋３
＝６２番目
になります。
②
１０進法の３１２を２進法に直す問題ですね。
５）３１２
５） ６２・・・２↑
５） １２・・・２↑
２・・・２↑
→ →
だから、３１２番目の整数は、２２２２となります。
（別解）
場合の数の問題として処理します。
①の答えから４桁以上と推測できますね。
０□□□（３桁以下（０は除外））・・・５×５×５－１＝１２４個 ←<デジタル表示を利用しました。
１□□□・・・５×５×５＝１２５個 ←この時点で２４９個だから、答えは、２□□□のところにあるとわかりますね。
２０□□・・・５×５＝２５個
２１□□・・・２５個
２２０□・・・５個
２２１□・・・５個 ←この時点で３０９個だから、あと３個ですね。
２２２０、２２２１、２２２２
したがって、３１２番目の整数は２２２２となります。
（１）
数列の各位には、１、２、３、４の４種類の数字だけが使われているので、４進法の問題です。
通常の４進法では、０、１、２、３の４種類の数字だけが使われるので、少し変則になっています。
変則４進法（０なし）の問題です。
（２）同様、①が変則４進法（０なし）を１０進法になおす問題で、②が逆の問題になりますね。
①
変則Ｎ進法（０なし）の問題は少し難しいので、少し書き出して実験してみます。
１ ２ ３ ４ １１ １２ １３ １４ ２１ ２２ ２３ ２４ ３１・・・（変則４進法（０なし））
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３・・・（１０進法）
例えば、変則４進法（０なし）の１２の場合、１の位が２、４の位が１だから、１０進法になおすと、１×４＋２×１＝６となり、変則４進法（０なし）の３１の場合、１の位が１、４の位が３だから、１０進法になおすと、３×４＋１×１＝１３となり、普通の４進法と同様に処理できることがわかりますね。
変則４進法（０なし）の２２２は、１の位、４の位、４×４の位がすべて２だから、１０進数になおすと、
２×４×４＋２×４＋２×１
＝４２
となります。したがって、２２２は４２番目の数になります。
（別解）
場合の数の問題として処理します。
××□（１桁）・・・４個
×□□（２桁）・・・４×４＝１６個
１□□・・・４×４＝１６個
２１□・・・４個
２２１、２２２・・・２個
したがって、２２２は
４＋１６＋１６＋４＋２
＝４２番目
になります。
②
例えば、１０進法の１１を変則４進法（０なし）になおすと、
４）１１
２・・・３ ○
→ →
だから、２３となり、問題なくなおせます。
ところが、例えば、１０進法の１２を変則４進法（０なし）になおそうとすると、
４）１２
３・・・０ ×
→ →
だから、３０となり、０が登場し、おかしなことになります。
これは、余りの０が使えない（使える余りは１、２、３、４のみ）からです。
そこで、余りが０になるときは、商を１小さくして、４余らせることになります。
１０進法の１２を変則４進法（０なし）になおすると、
４）１２
２・・・４ ○
→ →
だから、２４となります。
さて、問題を解いてみましょう。
１０進法の３１２を変則４進法（０なし）になおすと、
４）３１２
４） ７７・・・４
４） １９・・・１
４・・・３
だから、３１２番目の整数は４３１４となります。
（別解）
場合の数の問題として処理します。
①の答えから４桁以上と推測できますね。
×××□（１桁）・・・４個
××□□（２桁）・・・４×４＝１６個
×□□□（３桁）・・・４×４×４＝６４個
１□□□・・・４×４×４＝６４個
２□□□・・・６４個
３□□□・・・６４個 ←この時点で２７６個だから、答えは、４□□□のところにあるとわかりますね。
４１□□・・・４×４＝１６個
４２□□・・・１６個 ←この時点で３０８個だから、あと４個ですね。
４３１１、４３１２、４３１３、４３１４
したがって、３１２番目の整数は４３１４となります。
本問では取り上げられていない、変則Ｎ進法（０あり）の問題（
聖光学院中学校２００３年算数第３問、
麻布中学校１９９４年算数第４問）と隠れたＮ進法（変則でないもの）の問題（四天王寺中学校２００６年算数Ａ第５問）があるので、ぜひ解いてみましょう。