洛南高校附属中学校２０１４年算数第３問（解答・解説）
具体的な長さがなく少し扱いにくいため、具体的な長さをおいて解く方法もありますが、ここでは採用しません。
（１）
底面積の比 （あ）：（い）＝（１×１）：（２×２）＝１：４
高さの比 （あ）：（い）＝２：１
だから、
体積の比 （あ）：（い）＝（１×２×１/３）：（４×１×１/３）＝１：２ ←比の積・商
となります。
（２）
立体の図ではなく、真正面から見た図をかいて処理します。 ←平面で処理するのは立体図形の問題を解く際の基本です。
図のように平行線を引いて、ピラミッド相似とちょうちょ相似を作り出します。
線対称（左右対称）なので、右半分の図で処理します。 ←対称性を利用して作業範囲を減らす！
まず、三角形ＡＢＣと三角形ＡＤＥのピラミッド相似（相似比はＡＢ：ＡＤ＝１：２）に注目すると、ＢＣ：ＤＥ＝１：２となることがわかります。
次に、三角形ＢＧＣと三角形ＦＧＥのちょうちょ相似（相似比はＢＣ：ＦＥ＝ＢＣ：ＤＥ＝１：２）に注目すると、ＢＧ：ＦＧ＝１：２となることがわかります。
さらに、三角形ＢＨＧと三角形ＢＤＦのピラミッド相似（相似比はＢＧ：ＢＦ＝１：３）に注目すると、ＨＧ：ＤＦ＝１：３となり、ＨＧ：ＤＥ＝１：３/２＝２：３となることがわかります。
あとは、相似な立体の体積比が相似比×相似比×相似比となることを利用して体積比を求めるだけです。
（あ）と（い）の重なった部分の体積は、台形ＤＥＧＨをＡＤを軸に１回転してできる円錐台の体積と三角形ＢＨＧをＡＤを軸に１回転してできる円錐の体積の和となります。
三角形ＡＨＧをＡＤを軸に１回転してできる円錐の体積と三角形ＡＤＥをＡＤを軸に１回転してできる円錐の体積（（あ）の体積）の比は、２つの円錐が相似で、相似比が２：３であることから、（２×２×２）：（３×３×３）＝８：２７となります。
また、三角形ＢＨＧをＡＤを軸に１回転してできる円錐の体積と三角形ＢＤＦをＡＤを軸に１回転してできる円錐の体積（（い）の体積）の比は、２つの円錐が相似で、相似比が１：３であることから、（１×１×１）：（３×３×３）＝１：２７となります。
したがって、（あ）の体積を１としたとき、（あ）と（い）の重なった部分の体積は
１×（２７−８）/２７＋２×１/２７
＝２１/２７
＝７/９
となるから、
（（あ）の体積）：（（あ）と（い）の重なった部分の体積）
＝９：７
となります。
