洛南高校附属中学校２０１７年算数第３問（解答・解説）
（１）
図のように補助線を引くと、正六角形の６分割のイメージより、ＢＩの長さは正六角形の１辺の長さの１/２となります。
三角形ＪＦＥと三角形ＪＢＩのピラミッド相似（相似比はＪＥ：ＪＩ＝（２＋１）：２＝３：２）に注目すると、ＥＦの長さは正六角形の１辺の長さの１/２×２/３＝１/３とわかります。
したがって、
ＥＦ：ＦＧ
＝１/３：（１−１/３）
＝１：２
となります。
（３）
問題の数値設定が微妙で、（２）がなくても（３）が解けてしまうので、（３）を先に解きます。
「上底＋下底」の比 三角形ＡＣＤ：台形ＢＣＥＦ＝（３×２）：（１＋３）＝３：２ ←正六角形の１辺の長さを３として、（１）と正六角形の６分割のイメージを利用しました。
高さの比 三角形ＡＣＤ：台形ＢＣＥＦ＝２：３ ←ＣＤ：ＣＥですね。
だから、
面積の比 三角形ＡＣＤ：台形ＢＣＥＦ＝（３×２）：（２×３）＝１：１ ←比の積・商
となり、三角形ＡＣＤの面積と台形ＢＣＥＦの面積は等しくなります。
したがって、共通部分の四角形ＢＣＤＨの面積を取り除いた部分の面積も等しくなるから、三角形ＡＢＨの面積：四角形ＤＥＦＨの面積は１：１となります。
（２）
図のように補助線を引きます。
三角形ＤＡＣと三角形ＤＫＥのちょうちょ相似（相似比は、ＤＣ：ＤＥ＝２：１）と正六角形の６分割のイメージより、ＡＣの長さは正六角形の１辺の長さの２倍、ＫＥの長さは正六角形の１辺の長さの１倍となります。
三角形ＨＡＢと三角形ＨＫＦのちょうちょ相似（相似比はＡＢ：ＫＦ＝３：（３＋１）＝３：４）に注目すると、ＢＨ：ＨＦ＝３：４とわかります。
（参考）正六角形の６分割のイメージ
