洛南高校附属中学校２０２１年算数第５問（解答・解説）
問題文を分析すると、次のようになります。
ＡＢＣＤ
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ＣＡＤＢ
１回シャッフルするごとに千の位の数が百の位の数に、百の位の数が一の位の数に、一の位の数が十の位の数に、十の位の数が千の位の数になり、４回シャッフルすると元に戻りますね。
（１）
２１÷４＝５・・・１だから、１回シャッフルしたときと同じですね。
答えは３１４２となります。
（２）
最後の１回で登場する数（３１４２）以外の５セットに関しては１、２、３、４が同じ回数（５回ずつ）登場していますね。
求める和は
（１＋２＋３＋４）×５×１１１１＋３１４２
＝５８６９２
となります。
（３）
（１）より、abcdを２１回シャッフルするとcadbとなることが分かります。
最後の１回で登場する数（cadb）以外の５セットに関しては１、２、３、４が同じ回数（５回ずつ）登場していて、２１回シャッフルしてできる２１個の数の和が１１８６２６だから
１１８６２６＝（a＋b＋c＋d）×５×１１１１＋cadb
となります。
とりあえずcabdを無視して考えます。
（a＋b＋c＋d）×５×１１１１のa＋b＋c＋dが２０のときの１１１１×１００が１１１１００で１１８６２６に近い数であることに着目して大雑把に考えます。
１１８６２６−１１１１００＝７５２６だから、a＋b＋c＋dを１増やすことはできますが、２増やすことはできませんし、１減らすこともできません。 ←a＋b＋c＋dを１増やすと５５５５増え、１減らすと５５５５減りますが、a＋b＋c＋dをを２以上増やしたり、１以上減らしたりすると、cadbが４桁の整数となりませんね。
結局、cadbは７５２６か７５２６−５５５５＝１９７１となりますが、７５２６のときは各位の数の和が２０となり条件を満たしますが、１９７１のときは各位の数のがが１８となり、条件を満たしません。
したがって、a＝５、b＝６、c＝７、d＝２となります。