洛南高校附属中学校２０２４年算数第５問（解答・解説）
赤、青、緑をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃとします。
Ａの次はＢまたはＣ、Ｂの次はＡまたはＣ、Ｃの次はＡまたはＢを塗ることになり、最初と最後は違う色を塗ることになります。
Ａ→Ｂ Ｂ→Ａ Ｃ→Ａ
→Ｃ →Ｃ →Ｂ
逆から考えると、
Ａの個数＝１つ前のＢの個数＋１つ前のＣの個数
Ｂの個数＝１つ前のＣの個数＋１つ前のＡの個数
Ｃの個数＝１つ前のＡの個数＋１つ前のＢの個数
となることがわかるので、機械的に処理できます。
まず、最初がＡの場合について考えると、以下の表のように、例えば、（１）で条件を満たすもの（Ａ以外で終わるもの）は３×２通りあります。最初がＢ、Ｃの場合も同じだから、（１）の塗り分け方はは３×２×３＝１８通りとなります。 ←ＢとＣは条件的に同じだからです。〜条件の対等性を利用して作業を減らす！
（２）、（３）についても同様ですね。
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
Ａ １ ０ ２ ２ ６ １０ ２２ ４２ ８６ １７０
Ｂ ０ １ １ ３ ５ １１ ２１ ４３ ８５ １７１
Ｃ ０ １ １ ３ ５ １１ ２１ ４３ ８５ １７１
（２）の塗り分け方１１×２×３＝６６通りあり、（３）の塗り分け方は１７１×２×３＝１０２６通りあります。
上の表の塗り方の合計が１（２の０乗）、２（２の１乗）、４（２の２乗）、８（２の３乗）、・・・となっていることとＢ＝Ｃで、ＡとＢの差が１（奇数か所のときはＡが大きく、偶数か所のときはＢが大きくなっていますね）であることに着目すれば、表を最後まで完成させることなく、５１２（２の９乗）÷３＝１７０・・・２より、１７１×２×３＝１０２６通りとすることができます。
なお、この問題とほぼ同じ問題が京都大学で、この問題より難しい問題で、ちょうど３色で塗り分ける問題が大阪星光学院高等学校で出されている（大阪星光学院高等学校２０２２年数学第４問、京都大学１９９９年前期文系数学第５問）ので、ぜひ解いてみましょう。