洛南高校附属中学校２０２４年算数第６問（解答・解説）
高校で習う余弦定理（角ＢＡＣが直角の場合は三平方の定理）の証明の際に使われる図を用いた問題です。
（１）
三角形ＡＢＧと三角形ＡＫＧは、底辺（ＡＧ）と高さ（ＧＫ）が等しいから面積も等しくなります。 ←等積変形したと考えてもいいでしょう。
四角形ＡＪＫＧの面積は、三角形ＡＫＧの面積の２倍だから、１８×２＝３６cm2となります。
（２）
三角形ＡＢＧと三角形ＡＨＣは合同な三角形です（２辺とその間の角の大きさがそれぞれ等しいから）。 ←「回転＋拡大・縮小⇒合同」〜正方形ＡＣＦＧは正方形ＡＨＩＢを点Ａを中心に回転したものとみなせますね（他の１点でくっつく正方形同士も同様です）。
（１）と同様にすると、四角形ＡＨＭＬの面積は、３６cm2となります。
（３）
（１）、（２）より、正方形ＡＨＩＢと正方形ＡＣＦＧの一辺の長さはそれぞれ３６/３＝１２cm、３６/４＝９cmとなります。
あとは、（１）と同様の作業を行うだけです。
三角形ＡＢＤと三角形ＩＢＣは合同な三角形です（２辺とその間の角の大きさがそれぞれ等しいから）。
（１）と同様にすると、長方形ＢＤＯＮの面積は、長方形ＩＢＬＭの面積と等しくなり、１２×（１２−３）＝１０８cm2となります。
また、三角形ＡＣＥと三角形ＦＣＢは合同な三角形です（２辺とその間の角の大きさがそれぞれ等しいから）。
（１）と同様にすると、長方形ＣＥＯＮの面積は、長方形ＣＦＫＪの面積と等しくなり、９×（９−４）＝４５cm2となります。
したがって、四角形ＢＤＥＣの面積は１０８＋４５＝１５３cm2となります。
（参考１）三平方の定理について
この問題の角ＢＡＣが直角の場合の三平方の定理の証明（この問題と同様の図を利用した場合の証明法で、実際にはもっと簡明な証明法があります）を図で示しておきます。
上の解説が理解できていれば、言葉がなくてもわかるでしょう。
（参考２）余弦定理について
問題文の図で３cm、４cmの長さをなくしたもので考え、さらに問題文の面積の条件をなくしたもので考えます。
三角形ＡＢＣの辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢの長さをそれぞれa、b、cとします。
三角形ＡＢＪと三角形ＡＣＬは相似です（２組の角がそれぞれ等しいから）。
共通する角をθとし、直角三角形の１番長い辺に対する、θの角とくっつくもう１つの辺の比率（ＡＪ/ＡＢ、ＡＬ/ＡＣ）をcosθという記号で表すことにします。
ＡＬ＝b×cosθ、ＡＪ＝c×cosθとなり、長方形ＡＨＭＬの面積はc×b×cosθ、長方形ＡＪＫＧの面積はb×c×cosθとなります。 ←この２つの長方形の面積が等しいことは計算で自動的に得られましたね。
（３）で示したことにより、
長方形ＢＤＯＮの面積
＝長方形ＩＢＬＭの面積
＝c×c−c×b×cosθ
となり、
長方形ＣＥＯＮの面積
＝長方形ＣＦＫＪの面積
＝b×b−b×c×cosθ
となり、この２つの長方形の面積の和が正方形ＢＤＥＣの面積となるから、
a×a＝b×b＋c×c−２×b×c×cosθ （余弦定理（第２余弦定理））
となります。