洛南高校附属中学校２０２５年算数第４問（解答・解説）
（１）
１桁の整数・・・９個
２桁の整数・・・９×９＝８１個
３桁の整数・・・９×９×９＝７２９個
だから、整数は全部で
９＋８１＋７２９
＝８１９個
並んでいます。
（２）
１桁の整数・・・５×９＝４５ ←平均×個数＝総和となることを利用しました（以下同じ）。洛南の計算問題でよく使われる手法です（洛南高校附属中学校２００６年算数第１問（３）など）。
２桁の整数・・・５５×８１＝４４５５
３桁の整数・・・５５５×７２９＝４０４５９
だから、整数の総和は
４５＋４４５５＋４０４５９５
＝４０９０９５
となります。
（３）
（ア）
積を素因数分解したときの５の個数は２の個数より明らかに少ないから、一の位から並ぶ０の個数は積の素因数５の個数と一致します。
そこで素因数５の個数を考えます。
１から１０００までの整数が並んでいると考え、一の位が０のもの（偶数ですね）を取り除くことにします。
５の倍数・・・１０００/５＝２００より、２００/２＝１００個 ←５×奇数のものですね。
ただ、この中には十の位が０のもの（□０５（□は１から９の整数））が含まれるのでそれを取り除く必要があります。
結局、１００−９＝９１個あります。
２５の倍数・・・１０００/２５＝４０より、４０/２＝２０個 ←２５×奇数のものですね。
１２５の倍数・・・１０００/１２５＝８より、４個 ←１２５×奇数のものですね。
６２５の倍数・・・１０００/６２５＝１．・・・より、１個 ←６２５×奇数のものですね。
３１２５の倍数・・・０個
したがって、求める０の個数は
９１＋２０＋４＋１
＝１１６個
となります。
（イ）
これは難問です。 ←小さい数で問われていれば、筑波大学附属駒場中学校２００２年算数第１問の解答・解説のように調べつくすことができますが・・・
因みに、ジュニア広中杯のファイナルで同じような問題が出されたことがあります（ジュニア広中杯２０１２年ファイナル第２問（３））。
安易に一の位だけを考えると間違えてしまいます。
例えば、１５×２＝３０の０を取り除くと３になりますが、一の位の数だけを考えた場合、５×２＝１０の０を取り除くと１となり、一致しませんからね。 ←この意味が分からなければ、１から９までの積の一の位と１１から１９までの積の十の位を求めてみるとわかると思いますよ。
（あ）５でちょうど１回割り切れる各数を５で割った数の積（１×３×５×・・・×１９９（ただし、実際には５の倍数は取り除いて考える必要があります（５で２回以上割り切れるからです）。））
（い）５でちょうど２回割り切れる各数を２５で割った数の積（１×３×５×・・・×３９（ただし、実際には５の倍数は取り除いて考える必要があります（５で３回以上割り切れるからです）。））
（う）５でちょうど３回割り切れる各数を１２５で割った数の積（１×３×５×７）（ただし、実際には５の倍数は取り除いて考える必要があります（５で４回以上割り切れるからからです）。））
（え）５でちょうど４回割り切れる各数を６２５で割った数の「積」（１）
（お）５で割り切れない各数の積
（あ）について
この部分については、一の位だけ考えればいいですね（以下同様です）。
１×３×７×９（☆とします。☆の一の位は９となります。）
が１００×１/５＝２０セットあります。
９
９×９＝８１→１
９×９×９＝７２９→９
となり、９をかけ合わせた数の一の位は９、１の２個の数の繰り返しとなります。
２０は２で割り切れるから、この場合の積の一の位は１となります。
ところで、□０５（□＝１から９の整数）の９個の数は下２桁の数が２５で割り切れず、一の位が５で割り切れるから、５で１回だけ割り切れます。
実際には、この□０５がらみの数を取り除く必要がありますが、□０５を５で割った数の一の位はいずれも１となるので、積を考える上であってもなくても問題ないので、あえて上のようにしています。
（い）について
☆が２０×１/５＝４セットあるから、（あ）同様、一の位は１ですね。
（う）について
１×３×７の一の位は１となります。
（お）について
１×２×３×４×６×７×８×９（★とします。★の一の位は６となります。）
★が８１９×１/９＝９１セットあります。
６を何回かけても一の位は６ですね。
説明の便宜上、並んでいる整数をすべてかけ合わせた整数の一の位の数から連続して並ぶ０を取り除いた数をＰとします。
Ｐ＝すべての数の積/（（２×５）を１１６個かけ合わせた数の積）だから、Ｐ×（２×・・・×２（２を１１６個かけ合わせた数））＝（あ）×（い）×（う）×（え）×（お）となります。
このことから、Ｐ×（２×・・・×２（２を１１６個かけ合わせた数））の一の位は１×１×１×１×６の一の位６と等しくなります。
２
２×２＝４
２×２×２＝８
２×２×２×２＝１６→６
２×２×２×２×２＝３２→２
・・・・・・・・・・・・・・・・・
となり、２をかけ合わせた数の一の位は２、４、８、６の４個の数の繰り返しとなります。
１１６は４で割り切れるから、２を１１６個かけ合わせた数の一の位は６となります。
Ｐは偶数で、５で割り切れない数だから、一の位は２、４、６、８のいずれかとなります。
Ｐと一の位が６の整数の積の一の位が６となるＰの一の位として考えられるものは６だけですね。 ←２×６、４×６、６×６、８×６の一の位をチェックするだけですね。〜一の位チェック！
したがって、答えは６となります。