洛南高校附属中学校１９９９年算数Ａ第２問（解答・解説）
余りの周期性（倍数の周期性）の問題ですね。
書き出せば何とかなる問題ですが、いきなり書き出すのは、面倒ですね。
割り切れないより、割り切れる（倍数）ほうが楽だから、なんとか割り切れるようにならないかなという発想が大切です。
（１）
１１で割り切れ、１２で割ると１余る整数を□とすると、□＋１１は１１でも１２でも割り切れる、つまり、１３２（１１と１２の最小公倍数）の倍数になります。 ←不足共通パターンの一種〜（共通の）不足を足して倍数に持ち込みます。
結局、□は
１３２×○−１１（○＝１、２、・・・）
１３２の倍数
となります。
したがって、最も小さいものは
１３２×１−１１
＝１２１
となります。
もし下線部分に気づかなければ、１１の倍数を書き出して、１２で割ると１余るという条件をチェックするとよいでしょう。
その際、１２で割ると１余る数が奇数であることに注目すれば、１１の倍数のうち奇数になるものだけを書き出せばいいので、少し楽になります。
１１の倍数のうち奇数になるものを書き出すと、
１１、３３、５５、７７、９９、１２１、・・・
＋２２ ・・・
１２１が１２で割ると１余る数であることはすぐにわかりますね。
（２）
１３２×○−１１（○＝１、２、・・・）と表せる整数のうち、１９９９より大きい最小の数を考える問題ですね。
１３２×○−１１（○＝１、２、・・・）がはじめて１９９９より大きくなるような○を求めます。
（１９９９＋１１）÷１３２ ←１９８０（９９０×２）が１１でも１２でも割り切れることに注目して計算すれば、暗算でできますね。
＝１５．・・・
だから、１３２×○−１１（○＝１、２、・・・）がはじめて１９９９より大きくなるような○は１６となります。
１３２×１６−１１
＝２１０１
だから、１９９９に加えた整数（最も小さいもの）は
２１０１−１９９９
＝２１０１−２０００＋１ ←「ひきすぎたら、たす」
＝１０２
となります。