聖光学院中学校２０２２年第１回算数第２問（解答・解説）
誘導を無視してメインの問題から解きます。
（４）
３桁の整数の各位の数を大きくない順に〇、□、△とすると、
〇×□×△は〇＋□＋△以下となりますが、〇＋□＋△は△＋△＋△＝△×３以下となるので、〇×□は３以下となります。 ←上限チェック！
〇と□のありうる組み合わせ（〇,□）は
（０，０）、（０，１）、（０，２）、・・・、（０，８）、（０，９）、
（１，１）、（１，２）、（１，３）
となります。
〇、□、△のありうる組み合わせ（〇,□,△）とそれを並べ替えたときの３桁の整数の個数は
（０，０，１〜９）・・・１×９＝９個 ←△が百の位に確定しますね。△が０がないため、特殊な例になります。
（０，１，１〜９）・・・２＋２×２×１×（９−１）＝３４個 ←△が１のときとそれ以外のときは並べ方の場合の数が異なりますね（以下同様です）。０、１、１の並べ方は０が十の位か一の位のどちらに来るかで２通りあります。例えば、０、１、２の並べ方は、百の位が０以外の２通りあり、そのそれぞれに対して十の位が２通りあり、そのそれぞれに対して一の位が１通りあるから、全部で２×２×１通りあります。
（０，２，２〜９）・・・２＋２×２×１×（８−１）＝３０個
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
（０，８，８〜９）・・・２＋２×２×１×（２−１）＝６個
（０，９，９） ・・・２＋２×２×１×（１−１）＝２個
（１，１，１〜９）・・・１＋３×８＝２５個
（１，２，２〜３）・・・３＋３×２×１＝９個 ←〇が０のときと〇＝□＝１のとき、△の上限に制限は出てきませんでした（調べればわかりますし、不等式を作って導き出してもよいでしょう）が、１×２×△≦１＋２＋△より、△は３以下となります。
（１，３，×） ←１×３×△≦１＋３＋△より、△は２以下となり、ありえません。
となるから、３桁の整数は全部で
９＋（３４＋３０＋・・・＋６＋２）＋２５＋９
＝４３＋（３４＋２）×９×１/２ ←等差数列の和の公式を利用しました。
＝２０５個
となります。
以下、百の位の数、十の位の数、一の位の数をそれぞれ★、◎、☆とします。
（１）
与えられた条件より、９×◎×☆は９＋◎＋☆以下で、これは９＋９＋９＝２７以下だから、◎×☆は３以下となります。 ←上限チェック！
少し調べてみる（◎（☆）を０、１、２、・・・としてみる）と、（あ）◎と☆の少なくとも一方が０のときと（い）◎と☆がともに１のときのみ条件を満たすことがわかります。 ←上の考察からもわかりますね。ただ、上のように厳密に考えれば、上の解法をすればいいということになりますね。
（あ）の場合は、
１０×１０−９×９ ←全体から０を全く含まない場合を取り除きました。
＝１９個
あり、（い）の場合は、１１の１個あるから、全部で
１９＋１
＝２０個
あります。
（２）
Ａの３つの位の数の中に０が含まれる場合、各位の数の積は０となるから、すべて条件を満たすことは明らかですね。
３桁の整数は
９×１０×１０←１００〜９９９の９９９−９９＝９００個としてもよいでしょう。
＝９００個
あり、このうち各位の数の中に０が含まれないものは
９×９×９
＝７２９個
あるから、各位の数の中に０が含まれる数は
９００−７２９
＝１７１個
となり、これが答えとなります。
（３）
★×◎×☆≦★＋◎＋☆≦★＋★＋★＝★×３となるので、◎×☆は３以下となります。 ←上限チェック！
◎と☆のありうる組み合わせ（◎，☆）は
（１，１）、（１，２）、（１，３）
となります。
★、◎、☆のありうる組み合わせ（★，◎，☆）とそれを並べ替えたときの３桁の整数の個数は
（１〜９，１，１）・・・９個
（２〜３，２，１）・・・２個 ←◎＝☆＝１のとき、★の上限に制限は出てきませんでした（調べればわかりますし、不等式を作って導き出してもよいでしょう）が、★×２×１≦★＋２＋１より、★は３以下となります。
（×，３，１） ←★×３×１≦★＋３＋１より、★は２以下となり、ありえません。
となるから、この場合のＡは全部で９＋２＝１１個あります。
なお、（２）と（３）の誘導を利用して（４）を解くと、１７１＋１＋（９−１）×３＋３＋３×２×１＝２０５個となります。 ←１７１以外のところは、（３）の並べ替えを考えることになりますが、これは最初の考察のところを参照すればわかることです。