渋谷教育学園幕張中学校２００５年１次算数第１問（解答・解説）
（１）
約数の個数を求めるのだから、素因数分解します。
２）１２ ２）３０
２） ６ ３）１５
３ ５
１２＝２×２×３
３０＝２×３×５
１２の約数の個数は（２＋１）×（１＋１）＝６個で、３０の約数の個数は、（１＋１）×（１＋１）×（１＋１）＝８個だから、 ←（注）を参照しましょう。
[１２，３０]
＝６＋８
＝１４
となります。
なお、（注）の知識がなければ、約数をペアにして書き出して約数の個数を求めることになりますが、できれば樹形図（もしくは、表）で済ませたいところです（樹形図は最後まで完成させる必要はないでしょう）。
（注）一般に、整数☆が
○ア×□イ×△ウ ←（○ア個の積）×（□イ個の積）×（△ウ個の積）
と素因数分解されるとき、☆の約数の個数は
（ア＋１）×（イ＋１）×（ウ＋１）
となります。
例えば、２４（２３×３）の約数の個数は、（３＋１）×（１＋１）＝８個となります。
このことを樹形図と表を用いて確認しておきましょう。
（樹形図）
２の使用個数は、０〜３の３＋１（通り）あり、そのそれぞれに対して、３の使用個数は、０、１の１＋１（通り）あります。したがって、約数の個数は（３＋１）×（１＋１）＝８個となります。
（表）
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２を０個
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２を１個
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２を２個
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２を３個
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３を０個
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１
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２
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４
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８
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３を１個
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３
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６
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１２
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２４
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（参考）なお、上の表の考え方を利用すると、約数の合計を計算することができます。
約数の和は、（１＋２＋４＋８）×（１＋３）となりますね。 ←長方形の面積を求めるイメージ
（２）
一般に、次のことが成り立ちます（（１）の（注）を参照しましょう）。
約数が１個の整数・・・１
約数が２個の整数・・・素数 ←本問では、不要です。
約数が３個の整数・・・素数の２乗（同じ素数２個の積）
約数が奇数個の整数・・・平方数
このことを利用すると、調べる手間がかなり省（はぶ）けます。
４（素数の２乗ですね）の約数の個数は３個だから、[a，４] ＝８というのは、aの約数の個数が８−３＝５個ということですね。
約数が奇数個となる整数は平方数だから、平方数を小さい方から順にチェックしていきます。
ただし、１の約数は１個、素数の２乗（平方数）の約数は３個だから、調べる必要はありません。
４×４
＝２４
だから、約数の個数は４＋１＝５個となります。
したがって、a＝４×４＝１６となります。
この問題は神戸女学院中学部１９９５年２日目第４問とほとんど同じ問題なので、そちらもぜひ解いてみましょう。
