清風南海中学校２０００年算数第５問（解答・解説）
底面と高さが等しい三角柱と三角錐の体積比に関する問題（三角錐の体積公式の証明）ですが、三角柱の斜め切り（断頭三角柱とか切頭三角柱とか呼ばれることもあります）の体積公式に関しても同滋養に考えて示すことができるので、考え方をしっかりマスターしておきましょう。
この問題自体は、実質的には国語の問題です。
こういう問題が出題されたら、問題文を丁寧（ていねい）に読んでいくことが大切です。
「三角錐ＡＤＥＦと三角錐[ ア ]について、三角形ＤＥＦと三角形[ イ ]をこれらの三角錐の底面と考えます。これらはもとの三角柱の底面ですから、その面積は等しくなります。」
→三角柱の底面は、三角形ＤＥＦと三角形ＡＢＣだから、[ イ ]にはＡＢＣが入ることがわかります。
「また、これらの三角錐の高さも等しくなるので、体積も等しくなります。」
→三角錐ＡＤＥＦの高さは、底面を三角形ＤＥＦと考えた場合、ＡＤだから、これと等しい高さはＢＥまたはＣＦとなります。問題文の図の区切り方を見ると、三角形ＡＢＣを底面とする三角錐の高さはＣＦとなります。したがって、[ ア ]にはＦＡＢＣが入ります。
「残る１つの三角錐[ ウ ]」
→問題文の図を見ると、三角錐ＡＤＥＦと三角錐ＦＡＢＣ以外の三角錐は三角錐ＦＡＥＢだけだから、 [ ウ ]にはＦＡＥＢが入ります。
「三角錐ＡＤＥＦと残る１つの三角錐[ ウ ] （ＦＡＥＢ）について、これらの三角錐の底面は長方形[ エ ]を２等分したものと考えられます。」
→問題文の図を見ると、三角錐ＡＤＥＦの底面として考えられる面で、長方形の半分となるのは三角形ＡＤＥと三角形ＡＤＦです。三角錐[ ウ ] （ＦＡＥＢ）の底面として考えられる面で、長方形の半分となるのは三角形ＡＥＢと三角形ＢＥＦです。共通の面にあるものを考えないといけないので、条件を満たすのは、三角形ＡＤＥと三角形ＡＥＢですね。この２つの三角形は長方形ＡＤＥＢを２等分したものと考えられるので、[ エ ]にはＡＤＥＢが入ります。
「三角錐ＡＤＥＦと三角錐[ ア ]（ＦＡＢＣ）と三角錐[ ウ ] （ＦＡＥＢ）の体積はすべて等しいことがわかります。」
→問題文の図を見ると、三角柱ＡＢＣ−ＤＥＦは三角錐ＡＤＥＦと三角錐[ ア ]（ＦＡＢＣ）と三角錐[ ウ ] （ＦＡＥＢ）に分けられていて、三角錐が全部等しいのだから、三角錐ＡＤＥＦの体積の３倍が三角柱ＡＢＣ−ＤＥＦの体積に等しくなります。したがって、[ オ ]には３が入ります。
（参考）三角柱の斜め切り（断頭三角柱とか切頭三角柱とか呼ばれることもあります）の体積公式について
この問題文の図のＡＤとＢＥとＣＦの長さが異なる場合も含めて考えてみます（三角錐の面積公式は既知とします）。
三角錐ＡＤＥＦ（ＦＡＤＥ）と三角錐ＦＡＥＢは高さが等しく底面積の比がＡＤ：ＢＥだから、体積比もＡＤ：ＢＥとなります。
また、三角錐ＡＢＥＦ（ＦＡＥＢ）と四角錐ＡＢＥＦＣは高さが等しく底面積の比がＢＥ：（ＢＥ＋ＣＦ）だから、面積比もＢＥ：（ＢＥ＋ＣＦ）となります。
結局、図形全体（三角柱の斜め切り）の体積は、三角錐ＡＤＥＦの体積（三角形ＤＥＦの面積×ＡＤ×１/３）の（ＡＤ＋ＢＥ＋ＣＦ）/ＡＤとなるから、三角形ＤＥＦの面積×（ＡＤ＋ＢＥ＋ＣＦ）/３となります。