高槻中学校２０２３年Ｂ算数第３問（解答・解説）
（１）
条件を満たす整数のうち最高位が１である数は次のようになります。 ←３桁とか５桁とかで少し実験してみればすぐにわかることです。
１３☆３☆３☆３☆（それぞれの☆は１か５の２通り）
このような数は全部で２×２×２×２＝１６個あります。
（２）
最高位が５のものも（１）同様１６個あります。 ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
条件を満たす整数のうち最高位が２である数は２４２４２４２４２の１個だけあります。
最高位が４のものも同様に１個だけあります。
条件を満たす整数のうち最高位が３である数は次のようになります。
３★３★３★３★３（それぞれの★は１か５の２通り）
最高位が３のものは全部で２×２×２×２＝１６個あります。
したがって、条件を満たす数は全部で
１６＋１６＋１＋１＋１６
＝５０個
あります。
（３）
（２）の５０個の数のうち各位の数の和が３の倍数となるものの個数を求めることになります。
（あ）最高位が１の場合
１＋３×４は３で割ると１余る数だから、１と５を合わせて４個足して３で割ると２余る数となるときに条件を満たします。
３で割った余りをチェックすると、次のようになります。 ←これは（い）、（お）でも利用します。
１＋１＋１＋１＝４→１
１＋１＋１＋５＝８→２
１＋１＋５＋５＝１２→０
１＋５＋５＋５＝１６→１
５＋５＋５＋５＝２０→２
５が１個で１が３個のとき（５がどこに来るかで４通り）と５が４個のとき（１通り）だけ条件を満たすから、この場合は５個あります。
（い）最高位が５の場合
５＋３×４は３で割ると２余る数だから、１と５を合わせて４個足して３で割ると１余る数となるときに条件を満たします。
（あ）の場合と同様に考えることができるので、この場合は５個あります。
（う）最高位が２の場合
各位の数の和は２×５＋４×４＝２６となり、条件を満たしません。
（え）最高位が４の場合
各位の数の和は４×５＋２×４＝２８となり、条件を満たしません。
（お）最高位が３の場合
３×５は３の倍数だから、１と５を合わせて４個足して３で割りきれる数となるときに条件を満たします。
１と５が２個ずつのとき（１がどこに来るかで（４×３）/（２×１）＝６通り）だけ条件を満たすから、この場合は６個あります。
（あ）〜（お）より、条件を満たす数は全部で５＋５＋６＝１６個あります。
なお、ジュニア広中杯で、１から５の整数を隣同士の数の差が１となるように並べて１０桁の整数が何個できるかという問題が出されている（ジュニア広中杯２００９年トライアル第７問）ので、ぜひ解いてみましょう。