高槻中学校２０２４年Ｂ算数第３問（解答・解説）
以下、商は整数の範囲で考えます。
（１）
１０＝２×５で割り切れる回数を考える問題ですが、２で割り切れる回数よりも５で割り切れる回数のほうが明らかに少ないので、５で割り切れる回数を考えればいいですね。
そこで、５の倍数をチェックしていくことになりますが、気をつけることがあります。例えば、２５＝５×５であれば、５で２回割り切れるということです。
１から１００までの５の倍数の個数は１００/５＝２０個
１から１００までの２５（５×５）の倍数の個数は１００/２５＝４個
１から１００までの１２５（５×５×５）の倍数の個数はあきらかに０個
だから、１から１００までの整数をかけあわせた数を５で割り切る回数は
２０＋４ ←例えば、２５の倍数は、５の倍数と２５の倍数のところでカウントされていますが、実際、５で２回割り切れるので、ちょうどよくなりますね。
＝２４回
となり、これが答えとなります。
実際には、[〇]を〇を超えない最大の整数を表す（ガウス記号）として、[１００/５]＋[１００/２５]＝２０＋４＝２４回とするだけです。
（２）以降では、このガウス記号を使います。
（２）
１から５０までの２の倍数の個数は５０/２＝２５個
１から５０までの４（２×２）の倍数の個数は[５０/４]＝１２個
１から５０までの８（２×２×２）の倍数の個数は[５０/８]＝６個
１から５０までの１６（２×２×２×２）の倍数の個数は[５０/１６]＝３個
１から５０までの３２（２×２×２×２×２）の倍数の個数は[５０/３２]＝１個
１から５０までの６４（２×２×２×２×２×２）の倍数の個数はあきらかに０個
だから、１から５０までの整数をかけあわせた数を２で割り切る回数は
２５＋１２＋６＋３＋１
＝４７回
となります。
実際には、[５０/２]＋[５０/４]＋[５０/８]＋[５０/１６]＋[５０/３２]＝２５＋１２＋６＋３＋１＝４７回とするだけです。
（３）
３６＝２×２×３×３だから、３６で１回割るごとに２と３が２個ずつ「消費」されることになります。
２で割り切れる回数よりも３で割り切れる回数のほうが明らかに少ないので、３で割り切れる回数を考えればいいですね。
５１から１００までの整数をかけあわせた数（[１００]÷[５０]）を３で割り切る回数を考えます。
１から１００までの整数をかけあわせた数を３で割り切る回数から、１から５０までの整数をかけあわせた数を３で割り切る回数を引けばいいですね。
[１００/３]＋[１００/９]＋[１００/２７]＋[１００/８１]−（[５０/３]＋[５０/９]＋[５０/２７]）
＝３３＋１１＋３＋１−（１６＋５＋１）
＝４８−２２
＝２６回
となります。
３６で１回割るというのは、２と３で２回ずつ割るという作業だから、求める回数は２６/２＝１３回となります。
なお、この問題が[１００]÷[５０]を２で割り切れる回数とか４で割り切れる回数とかを問う問題なら、次のようにすると簡単に解けます。
[１００]÷[５０]
＝（１×２×３×４×・・・×９９×１００）/（１×２×３×・・・×５０）
＝（１×３×５×・・・×９９）×（２×４×６×・・・×１００）/（１×２×３×・・・×５０） ←分子を偶数の積と奇数の積に分けました。
＝（２を５０個掛け合わせた数）×（１から９９までの奇数すべての積） ←分子の５０個の偶数の積と分母を約分しました。実際には、この式を一気に作ることができます。
だから、２で割り切れる回数が５０回、４で割り切れる回数が５０/２＝２５回となることがすぐにわかりますね。
この考え方を使えば、２００８年のジュニア数学オリンピック（JJMO）第２問（１００４から２００８までの積が２で最大何回割り切れるか考える問題）が、１００３＋３＝１００６というように暗算で解けます。