東大寺学園中学校２００２年算数第３問（解答・解説）
直角三角形がたくさん出てくるので、直角記号、○、×の記号を書き込みます。
すると、相似な直角三角形がたくさん見つかりますね。
長方形の対角線はそれぞれの中点（真ん中の点）で交わるから、
ＡＣ＝ＥＣ×２＝（３＋２）×２＝１０cm
これとＡＢ（＝ＣＤ）＝６cmより、（図１）に現れる直角三角形の辺の比は、
大：中：小＝５：４：３
となることがわかります（（図２）を参照）。
（１）
ＣＧ
＝ＣＦ×５/４ ←三角形ＣＦＧでは、ＣＦは「中の辺」、ＣＧは「大の辺」ですね。
＝２×５/４
＝５/２cm
だから、
ＢＧ
＝ＢＣ−ＣＧ
＝８−５/２
＝１１/２cm
（図１）の赤紫色の三角形ＡＩＤと三角形ＧＩＢのちょうちょ相似（相似比 ＤＡ：ＢＧ＝８：１１/２＝１６：１１）に注目すると
ＡＩ：ＡＧ＝１６：（１６＋１１）＝１６：２７
これで、三角形ＡＩＥの面積を求める準備が整いました。
比をフルに活用して求めます。 「比」で求める！
三角形ＡＩＥの面積
＝三角形ＡＧＣの面積×ＡＩ/ＡＧ×ＡＥ/ＡＣ ←下の（☆）を参照
＝三角形ＡＢＣの面積×ＧＣ/ＢＣ×ＡＩ/ＡＧ×ＡＥ/ＡＣ ←高さ一定⇒面積比＝底辺の比
＝６×８×１/２×５/１６×１６/２７×１/２
＝２０/９cm2
（別解）
ＢＥ：ＥＤ＝１：１とＢＩ：ＩＤ＝１１：１６から、
ＢＩ：ＩＥ（：ＥＤ）＝２２：５（：２７）
と求めて、
三角形ＡＩＥの面積
＝三角形ＡＢＥの面積（長方形ＡＢＣＤの面積の１/４）×５/２７ ←高さ一定⇒面積比＝底辺の比
＝６×８×１/４×５/２７
＝２０/９cm2
としてもいいでしょう。
（☆）
一般に、三角形ＢＥＤの面積は、三角形ＡＢＣの面積の
b/a×d/c倍
になります。
このことは、補助線ＡＥを引けばすぐにわかりますね。
（２）
三角形ＣＤＥの面積（長方形ＡＢＣＤの面積の１/４）から三角形ＣＨＦの面積を引いて求めます。 「差」で求める！（復元）
ＨＦ
＝ＣＦ×４/３ ←三角形ＣＨＦでは、ＣＦは「小の辺」、ＨＦは「中の辺」ですね。
＝２×４/３
＝８/３cm
求める面積は
６×８×１/４−２×８/３×１/２
＝１２−８/３
＝２８/３cm2
